Estremo superiore di una funzione, dubbio su una proprietà!
Salve, il mio libro di analisi propone le seguenti due proprietà per poter affermare che una funzione sia limitata superiormente in un insieme:
Sia $f:D->E$, [...]
• $f(x) <= Sup_Ef ∀x∈D_f$
• ∀ɛ>0 ∃ un punto $z ∈D$, tale che $f(z) > Sup_E - ɛ$
Ecco, non riesco a capire ciò che vuol trasmettere la seconda proprietà, mi potete aiutare, per favore?
Grazie mille in anticipo!
Sia $f:D->E$, [...]
• $f(x) <= Sup_Ef ∀x∈D_f$
• ∀ɛ>0 ∃ un punto $z ∈D$, tale che $f(z) > Sup_E - ɛ$
Ecco, non riesco a capire ciò che vuol trasmettere la seconda proprietà, mi potete aiutare, per favore?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Il secondo punto è essenziale, consideriamo ad esempio la funzione $y= 1-x^2$ nell'intervallo $[-1;1]$. Se non ci fosse il secondo punto allora 19, ad esempio, potrebbe essere il $\text{sup}$ della tua funzione giacché è vero che $19 \ge f(x) \quad \forall x \in [-1;1]$.
E così varrebbe anche per 12, 9, 1, 345555...
Così il $\text{sup}$ non ci trasmetterebbe un'informazione interessante sulla funzione. Grazie al secondo punto è evidente che $$\underset{x \in [-1;1]}{\text{sup}} (f)= 1$$
E così varrebbe anche per 12, 9, 1, 345555...
Così il $\text{sup}$ non ci trasmetterebbe un'informazione interessante sulla funzione. Grazie al secondo punto è evidente che $$\underset{x \in [-1;1]}{\text{sup}} (f)= 1$$
"Bremen000":
Il secondo punto è essenziale, consideriamo ad esempio la funzione $y= 1-x^2$ nell'intervallo $[-1;1]$. Se non ci fosse il secondo punto allora 19, ad esempio, potrebbe essere il $\text{sup}$ della tua funzione giacché è vero che $19 \ge f(x) \quad \forall x \in [-1;1]$.
E così varrebbe anche per 12, 9, 1, 345555...
Così il $\text{sup}$ non ci trasmetterebbe un'informazione interessante sulla funzione. Grazie al secondo punto è evidente che $$\underset{x \in [-1;1]}{\text{sup}} (f)= 1$$
Va bene, ma tecnicamente qual è il significato? Mi interessa quello più che le conseguenze, se possibile.
Grazie!
"iTz_Ovah":
Salve, il mio libro di analisi propone le seguenti due proprietà per poter affermare che una funzione sia limitata superiormente in un insieme:
Sia $f:D->E$, [...]
• $f(x) <= Sup_Ef ∀x∈D_f$
• ∀ɛ>0 ∃ un punto $z ∈D$, tale che $f(z) > Sup_E - ɛ$
Ecco, non riesco a capire ciò che vuol trasmettere la seconda proprietà, mi potete aiutare, per favore?
Grazie mille in anticipo!
Ho visto che Bremen000 ti ha già dato una risposta, ma io vorrei invece darti un suggerimento. Rileggi con la dovuta attenzione quello che c'è scritto sul tuo libro, perché delle due l'una:
- o non hai riportato con precisione quello che afferma (o, meglio, hai cannato e di brutto)
- o quel libro è da buttare nel cesso: non posso immaginare che faccia confusione tra funzione superiormente limitata ed estremo superiore di una funzione
Ho visto che Bremen000 ti ha già dato una risposta, ma io vorrei invece darti un suggerimento. Rileggi con la dovuta attenzione quello che c'è scritto sul tuo libro, perché delle due l'una:
- o non hai riportato con precisione quello che afferma (o, meglio, hai cannato e di brutto)
- o quel libro è da buttare nel cesso: non posso immaginare che faccia confusione tra funzione superiormente limitata ed estremo superiore di una funzione
Ti rispondo con una domanda: hai risposto alla mia domanda? No. Allora come diretta conseguenza, ne segue che non m'interessa, se non sai rispondere, non farlo.
Io HO risposto alla tua domanda, segnalandoti che non hai capito un piffero di queste cose. Buona permanenza nell'ignoranza
"iTz_Ovah":
Va bene, ma tecnicamente qual è il significato? Mi interessa quello più che le conseguenze, se possibile.
Grazie!
Be'... non so se ho capito bene la tua domanda allora. Tecnicamente è diverso considerare un punto che è maggiorante dell'insieme delle immagini (punto 1) e basta e un punto che è maggiorante dell'insieme delle immagini e inoltre è il più piccolo (punto 1 e 2), tanto che, sottrattogli un $\epsilon$ per quanto piccolo esiste sempre un punto dell'insieme che gli è maggiore. Questo è lo "srotolamento" in linguaggio naturale di quelle definizioni...
"Fioravante Patrone":
Io HO risposto alla tua domanda, segnalandoti che non hai capito un piffero di queste cose. Buona permanenza nell'ignoranza
La mia domanda concerneva la proprietà numero due dell'estremo superiore, cosa che tu non hai neanche sfiorato, io sarò ignorante in matematica (e non me ne vergogno, dato che nella vita mi servirà solo a sostenere l'esame di analisi) ma tu devi partire dall'asilo in italiano se pensi che la mia domanda riguardasse la differenza tra funzione limitata ed estremo superiore (ma se non ci sei arrivato non hai capito un "piffero" di italiano [cit]).
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