Estremo superiore di funzioni
Buongiorno a tutti,
qando parliamo di $"sup" (f(x),g(x))$ facciamo riferimento all'estremo superiore di un insieme formato da due funzioni$(f(x),g(x))$ . Ora se queste funzioni sono in particolare funzioni costanti a tratti allora in questo caso non posso dire che l'estremo superiore coincide con $f(x)$ o $g(x)$? e quindi di conseguenza estremo superiore è massimo?
qando parliamo di $"sup" (f(x),g(x))$ facciamo riferimento all'estremo superiore di un insieme formato da due funzioni$(f(x),g(x))$ . Ora se queste funzioni sono in particolare funzioni costanti a tratti allora in questo caso non posso dire che l'estremo superiore coincide con $f(x)$ o $g(x)$? e quindi di conseguenza estremo superiore è massimo?
Risposte
Per calcolare quel [tex]$\sup$[/tex], tu fissi [tex]$x$[/tex] e poi vedi quale tra i valori [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$g(x)$[/tex] è il più grande, giusto?
In tal caso, visto che l'estremo superiore di un insieme finito è sempre un massimo, scrivere [tex]$\max \{ f(x),g(x)\}$[/tex] al posto di [tex]$\sup \{ f(x),g(x)\}$[/tex] non è un reato (nemmeno se le due funzioni assumono i valori [tex]$\pm \infty$[/tex], visto che puoi sempre far finta di avere immagini in [tex]$\widehat{\mathbb{R}}$[/tex]).
D'altra parte ciò non è vero se prendi un insieme non finito di funzioni: ad esempio, se [tex]$f_n(x)=\frac{n}{n+1}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], allora [tex]$\sup_{n\in \mathbb{N}} \{ f_n(x)\} =1$[/tex] ma capisci da te che quell'estremo superiore non è affatto un massimo.
In tal caso, visto che l'estremo superiore di un insieme finito è sempre un massimo, scrivere [tex]$\max \{ f(x),g(x)\}$[/tex] al posto di [tex]$\sup \{ f(x),g(x)\}$[/tex] non è un reato (nemmeno se le due funzioni assumono i valori [tex]$\pm \infty$[/tex], visto che puoi sempre far finta di avere immagini in [tex]$\widehat{\mathbb{R}}$[/tex]).
D'altra parte ciò non è vero se prendi un insieme non finito di funzioni: ad esempio, se [tex]$f_n(x)=\frac{n}{n+1}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], allora [tex]$\sup_{n\in \mathbb{N}} \{ f_n(x)\} =1$[/tex] ma capisci da te che quell'estremo superiore non è affatto un massimo.
la definizoone che ho sui miei appunti estremo superiore di due funzioni è" la funzione che ha il grafico "sopra" di f(x) e g(x)" anche se sinceramente non so quanto sia giusta..
Si, va bene... Un po' troppo intuitiva (dubito che il tuo prof. l'abbia davvero detta così...), ma rende l'idea.
Per avere un esempio, pensa al valore assoluto: si ha [tex]$|x|=\sup \{ x,-x\}$[/tex].
Per avere un esempio, pensa al valore assoluto: si ha [tex]$|x|=\sup \{ x,-x\}$[/tex].
si però cosa succede quando $f(x)$ interseca $g(x)$ ?
"streghettaalice":
si però cosa succede quando il grafico di $f(x)$ interseca il grafico di $g(x)$ ?
In quei punti hai [tex]$f(x)=g(x)$[/tex], quindi dovresti prendere il massimo di un insieme con un unico elemento... Ed ovviamente il massimo/l'estremo superiore è proprio quell'elemento.
(Ad esempio, [tex]$\sup \{ 2\} =2$[/tex], senza dubbio!)
Il grassetto serve ad evidenziare una piccola correzione terminologica: non ha senso dire che due funzioni si intersecano; al massimo sono i loro grafici che si intersecano.
grazie scusa per l'errore 
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