Estremo superiore

[Esposito.sofia1]

Salve! Avrei una domanda:
1) per dimostrare che l'estremo superiore di un isieme limitato composto da numeri razionali non esiste, devo dimostrare che l'estremo superiore è irrazionale? Cioè l'estremo superiore deve essere per forza un numero che appartiene all'insieme di partenza? Se ho un insieme di numeri razionali, l'estremo superiore di questo insieme deve essere per forza razionale?

[theras]

Per dimostrare che un insieme numerico $X$(i.e. $X sube RR$..) è illimitato superiormente
(immagino sia questa la terminologia,tra quelle usualmente adottate,
più opportuna per capirsi su cosa tu intenda con "non esiste l'estremo superiore d'un insieme di razionali.".),
occorre e basta verificare come $AAK inRR$(ma và bene pure $RR^+$..)$EEx_k inX" t.c. "x_k>k$;
se poi pensi ad un insieme "famoso",ovvero $M_(sqrt(2))={q in QQ"/"q^2<2}$,t'accorgi che il suo estremo superiore,
ossia $sqrt(2)$(almeno rifacendoci all'insieme ambiente $RR$..),non è un numero razionale:
quanto di dico quì sottointende però che tu ti stia riferendo alla situazione in cui $QQ$ vien considerato immerso nel suo "completamento di Dedekind",ovvero $RR$,
perchè se tu ragionassi come se gli irrazionali non esistessero,o non fossero stati ancora scoperti,
il discorso e le definizioni di base si stravolgerebbero,
in quanto giocoforza incompleti(e talora errati..)rispetto a quanto può affermarsi lavorando in riferimento ad $RR$,
ed in tale "edizione limitata" dei concetti in questione anche quella tua frase da me virgolettata potrebbe avere una maggior validità formale
(sebbene inconsueta..)!
Saluti dal web.