Estremo sup e inf.: esercizio
Salve!
Ho due insieme e devo verificare che sono limitati e trovare estremo sup, inf., eventualmente min. e max.
Gli insiemi sono:
$A=((n-1)/n : n\inN)$
$B=((2n)/(n^2+1) : n\inZ)$
Il libro mi fornisce anche i risultati, ovvero per A $0<=x<=1$
e B $-1<=x<=1$
Da qui devo partire per trovare estremo sup., inf., min., max.
Per A, $minA="inf"A=0$; $"sup"A=1$ e il max non c'è.
Per B, $minA= "inf"A=-1$; $maxA="sup"A=1$.
Volevo sapere se è giusto ciò che ho fatto. L'unica cosa che non mi è chiara è il risultato che mi propone il libro, soprattutto per l'insieme A. Lo riporto:
A: $0<=x<=1$
Nel caso di A più o meno di trovo. Ho posto sia il numeratore che il denominatore >=0 ed effettivamente mi escono come valori 0 e 1. Il libro prende i valori interni, quindi x compreso tra 0 e 1. Come mai ha preso quelli interni e non quelli esterni? Questo non mi è chiaro dal momento che in $A=((n-1)/n : n\inN)$ non è indicato alcun segno, > o <.
Sareste così gentili da aiutarmi per capire questa cosa?
Grazie
Ho due insieme e devo verificare che sono limitati e trovare estremo sup, inf., eventualmente min. e max.
Gli insiemi sono:
$A=((n-1)/n : n\inN)$
$B=((2n)/(n^2+1) : n\inZ)$
Il libro mi fornisce anche i risultati, ovvero per A $0<=x<=1$
e B $-1<=x<=1$
Da qui devo partire per trovare estremo sup., inf., min., max.
Per A, $minA="inf"A=0$; $"sup"A=1$ e il max non c'è.
Per B, $minA= "inf"A=-1$; $maxA="sup"A=1$.
Volevo sapere se è giusto ciò che ho fatto. L'unica cosa che non mi è chiara è il risultato che mi propone il libro, soprattutto per l'insieme A. Lo riporto:
A: $0<=x<=1$
Nel caso di A più o meno di trovo. Ho posto sia il numeratore che il denominatore >=0 ed effettivamente mi escono come valori 0 e 1. Il libro prende i valori interni, quindi x compreso tra 0 e 1. Come mai ha preso quelli interni e non quelli esterni? Questo non mi è chiaro dal momento che in $A=((n-1)/n : n\inN)$ non è indicato alcun segno, > o <.
Sareste così gentili da aiutarmi per capire questa cosa?
Grazie
Risposte
[mod="Steven"]Ho dato un aggiustata alle formule.
Erano quasi tutte giuste, se aggiungi i simboli dei dollari all'inizio e alla fine della formula appaiono scritte in blu per bene.[/mod]
Quelli che ti ha riportato il libro non sono i valori di inf, sup etc, ma l'intervallo nel quale l'espressione $(n-1)/n$ sta.
Cioè, variando $n$ come ti pare, quell'espressione sarà un numero sempre compreso tra 0 e 1.
Praticamente quind inf e sup già te li dice lui, sono gli estremi. Devi capire se sono anche min e max.
Ad ogni modo, è impreciso come suggerimento.
L'uguaglianza con 1 non va bene, infatti $(n-1)/n$, per quanto ci tende (con n che va a infinito) non è mai uguale ad 1.
Mentre invece assume il valore di zero quando $n=1$ per l'annullarsi del numeratore.
Spero sia chiaro. Ciao.
Erano quasi tutte giuste, se aggiungi i simboli dei dollari all'inizio e alla fine della formula appaiono scritte in blu per bene.[/mod]
Quelli che ti ha riportato il libro non sono i valori di inf, sup etc, ma l'intervallo nel quale l'espressione $(n-1)/n$ sta.
Cioè, variando $n$ come ti pare, quell'espressione sarà un numero sempre compreso tra 0 e 1.
Praticamente quind inf e sup già te li dice lui, sono gli estremi. Devi capire se sono anche min e max.
Ad ogni modo, è impreciso come suggerimento.
L'uguaglianza con 1 non va bene, infatti $(n-1)/n$, per quanto ci tende (con n che va a infinito) non è mai uguale ad 1.
Mentre invece assume il valore di zero quando $n=1$ per l'annullarsi del numeratore.
Spero sia chiaro. Ciao.
Si si, ora è più chiaro, ti ringrazio
Non ho capito solo come il libro riesce a trovare l'intervallo. Risolve l'insieme A come se fosse una disequazione?
Non ho capito solo come il libro riesce a trovare l'intervallo. Risolve l'insieme A come se fosse una disequazione?
In questo caso è relativamente facile.
Avendo la quantità
[tex]$\frac{n-1}{n}$[/tex]
possiamo scriverla facilmente come
[tex]$\frac{n}{n}-\frac{1}{n}$[/tex] ovvero [tex]$1-\frac{1}{n}$[/tex]
Appare chiaro che la quantità è sempre minore di 1 (è 1 meno qualcosa di positivo), e se $n$ cresce molto tende a restare solo $1$, poiché $1/n$ diventa insignificante.
D'altra parte si vedeva già dall'inizio che valori negativi l'espressione non ne assume, e che quindi $0$ era il minimo.
Questo basta e avanza per giustificare quanto dice il libro. Ti torna?
Ciao!
Avendo la quantità
[tex]$\frac{n-1}{n}$[/tex]
possiamo scriverla facilmente come
[tex]$\frac{n}{n}-\frac{1}{n}$[/tex] ovvero [tex]$1-\frac{1}{n}$[/tex]
Appare chiaro che la quantità è sempre minore di 1 (è 1 meno qualcosa di positivo), e se $n$ cresce molto tende a restare solo $1$, poiché $1/n$ diventa insignificante.
D'altra parte si vedeva già dall'inizio che valori negativi l'espressione non ne assume, e che quindi $0$ era il minimo.
Questo basta e avanza per giustificare quanto dice il libro. Ti torna?
Ciao!
Si si, ho capito.
Io ho provato anche a svolgere l'esecizio in maniera diversa, potresti dirmi se comunque il procedimento è giusto?
Praticamente partendo da $n-1/n$, ho posto n=0, n=1 e così via e ho svolto.
Ad esempio per n=1 mi viene 0. Non riporto tutti i calcoli per velocità ma se non mi sono spiegata bene lo faccio subito.
In questo modo credo di aver trovato l'estremo sup. e inf. ( coincidono con gli intervalli proposti dal libro ) e infine ho verificato che fossero anche minimo e massimo. Nel caso di questo esercizio c'è solo il minimo e non il massimo.
Volevo solo sapere, quindi, se il procedimento di assegnare ad n un valore e poi risolvere è giusto o meno. E' forse un procedimento lungo ma per me che non ho mai fatto queste cose, almeno ora che sono all'inizio, è più semplice.
Ti ringrazio
Io ho provato anche a svolgere l'esecizio in maniera diversa, potresti dirmi se comunque il procedimento è giusto?
Praticamente partendo da $n-1/n$, ho posto n=0, n=1 e così via e ho svolto.
Ad esempio per n=1 mi viene 0. Non riporto tutti i calcoli per velocità ma se non mi sono spiegata bene lo faccio subito.
In questo modo credo di aver trovato l'estremo sup. e inf. ( coincidono con gli intervalli proposti dal libro ) e infine ho verificato che fossero anche minimo e massimo. Nel caso di questo esercizio c'è solo il minimo e non il massimo.
Volevo solo sapere, quindi, se il procedimento di assegnare ad n un valore e poi risolvere è giusto o meno. E' forse un procedimento lungo ma per me che non ho mai fatto queste cose, almeno ora che sono all'inizio, è più semplice.
Ti ringrazio
"Alessia...":
Volevo solo sapere, quindi, se il procedimento di assegnare ad n un valore e poi risolvere è giusto o meno. E' forse un procedimento lungo ma per me che non ho mai fatto queste cose, almeno ora che sono all'inizio, è più semplice.
A volte può essere utile sostituire qualche valore, altre volte no.
Come ti dicevo, stavolta l'espressione era veramente semplice, vedendola come $1-1/n$.
Altre volte può essere opportuno annullare una derivata, ad esempio.
Con questi esercizi serve abbastanza mano, se sei all'inizio non preoccuparti. Fanne qualcuno, magari meglio se hai lo svolgimento, poi verrano da soli. Non fissarti su un metodo meccanico.
Ciao.
Va bene!
Ti ringrazio davvero molto, sei l'unico che mi ha fatto capire qualcosa
Ti ringrazio davvero molto, sei l'unico che mi ha fatto capire qualcosa
Ma per esempio la seconda come l'avete svolta?
Può essere utile studiarne la monotonia?
[tex]\frac{2n}{n^2+1}\geq \frac{2(n+1)}{(n+1)^2+1}[/tex]
[tex]\frac{2n}{n^2+1}\geq \frac{2n+2}{n^2+2n+2}[/tex]
Non saprei continuare, come procedere?
Può essere utile studiarne la monotonia?
[tex]\frac{2n}{n^2+1}\geq \frac{2(n+1)}{(n+1)^2+1}[/tex]
[tex]\frac{2n}{n^2+1}\geq \frac{2n+2}{n^2+2n+2}[/tex]
Non saprei continuare, come procedere?
Io l'ho risolta con il metodo che ho scritto prima ovvero dando ad n valori diversi. Poi non so
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo