Estremo inferiore ed estremo superiore

[Gmork]

Secondo voi un metodo per trovare estremo inferiore e/o superiore di un insieme fatto da elementi del tipo:

$\sqrt {\frac{2n}{n^2+2}}$

quale potrebbe essere?

[Gmork]

Ho provato a fare in questo modo:

essendo $n^2+1\ge 2n$ (ho provato a dimostrarlo per induzione e dopo averla verificata per $n=1$ e supposta vera per $n$, quando l'ho verificata per $n+1$ mi è risultato $n^2\ge 0$)

allora $\frac{2n}{n^2+2}<\frac{2n}{n^2+1}\le 1$ e quindi $\frac{2n}{n^2+2}<1$ ed 1 è l'estremo superiore.

Ma non so se è giusta

[Relegal]

Da $(2n)/(n^2+2)<1$ puoi concludere solamente che $1$ è un maggiorante, non è detto però che coincida con l'estremo superiore. ( Non ho fatto i calcoli, per cui non ti so dire chi sia l'estremo superiore.)
In questo caso, per studiare l'estremo inferiore, puoi osservare che gli elementi dell'insieme sono numeri strettamente positivi. Al crescere di $n in NN$ prova a vedere come si comportano questi numeri.

[regim]

Tranne i primi due termini che sono uguali, dal secondo in poi hai una successione strettamente decrescente, il massimo è $sqrt(2/3)$ e l'estremo inferiore è il limite cioè $0$.
Con un ragionamento per induzione trovi questa espressione $ 2n^2+2n-4 > 0 $, che mette a confronto il radicando calcolato in $n$ con quello in $n+1$, se in essa poni $n=1$ trovi che quella espressione vale $0$, il che significa che il valore del radicando non cambia per $n=1$ e $n=2$, già da $2$ in poi le cose funzionano meglio.