Estremo inferiore ed estremo superiore
Buon giorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio, o meglio un metodo generale (se esiste) per affrontare questi esercizi.
Ricordandomi la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore, ovvero che il primo è il più piccolo dei maggioranti dell'insieme $A$ e il secondo il più grande dei minoranti dell'insieme $A$ provo ad analizzare i punti richiesti.
Partendo dalla seconda richiesta e conoscendo l'andamento della funzione $arctan$, posso vedere come si comporta la funzione in $+oo$
$lim_(x->+oo) arctan(x^x − 1)=pi/2$
Per quanto riguarda la funzione ristretta a $(0, 1/2)$ posso osservare che i valori contenuti in quest'intervallo sono negativi. E che l'estremo superiore su questo insieme si ha per
$lim_(x->0) arctan(x^x − 1)=0$
Per il primo punto non saprei come procedere, la definizione di iniettività mi dice che a elementi distinti del dominio, corrispondono elementi distinti del codominio. Pertanto la funzione è iniettiva se è ristretta all'intervallo $[\alpha, +oo)$. La condizione di iniettività pone dunque il problema di cercare il minimo della funzione $arctan(x^x − 1)$.
Derivando la funzione e ponendola uguale a zero ottengo
$(x^xlog(x)+1)/(1+(x^x-1)^2)=0$
Pertanto il denominatore è sempre $>0$, per cui posso studiare il denominatore
$x^xlog(x)=-1$
Ma da qui non riesco a venirne fuori...
I miei dubbi riguardano questo risultato, se i passaggi e la logica che c'è dietro è corretta. Qual è il risultato, perché sul libro ho un valore esatto. E come posso approcciarmi a questi esercizi, cioè su esercizi che richiedono di trovare $i\nf$ e $su\p$ su insiemi definiti da funzioni o successioni (con eventuali restrizioni). Perché in questo caso ho utilizzato Desmos per aver un'idea di come fosse la funzione, fosse stata una funzione come $arctan(x-1)$ sarebbe stato già più semplice ma con $x^x$ non saprei come gestirlo il grafico.
Si consideri la funzione $f : (0, +oo) -> mathbb(R)$, $f (x) = arctan(x^x − 1)$
[*:35qjtkyq]Sia $A = {\alpha > 0 :$ la restrizione di $f$ a $[\alpha,+oo)$ è iniettiva$}$. Quanto vale $i\nf A$?[/*:m:35qjtkyq]
[*:35qjtkyq]Quanto vale $s\up_((x in(0, +oo))$ $f(x)$?[/*:m:35qjtkyq]
[*:35qjtkyq]Quanto vale $s\up_((x in(0, 1/2))$ $f(x)$?[/*:m:35qjtkyq][/list:u:35qjtkyq]
Ricordandomi la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore, ovvero che il primo è il più piccolo dei maggioranti dell'insieme $A$ e il secondo il più grande dei minoranti dell'insieme $A$ provo ad analizzare i punti richiesti.
Partendo dalla seconda richiesta e conoscendo l'andamento della funzione $arctan$, posso vedere come si comporta la funzione in $+oo$
$lim_(x->+oo) arctan(x^x − 1)=pi/2$
Per quanto riguarda la funzione ristretta a $(0, 1/2)$ posso osservare che i valori contenuti in quest'intervallo sono negativi. E che l'estremo superiore su questo insieme si ha per
$lim_(x->0) arctan(x^x − 1)=0$
Per il primo punto non saprei come procedere, la definizione di iniettività mi dice che a elementi distinti del dominio, corrispondono elementi distinti del codominio. Pertanto la funzione è iniettiva se è ristretta all'intervallo $[\alpha, +oo)$. La condizione di iniettività pone dunque il problema di cercare il minimo della funzione $arctan(x^x − 1)$.
Derivando la funzione e ponendola uguale a zero ottengo
$(x^xlog(x)+1)/(1+(x^x-1)^2)=0$
Pertanto il denominatore è sempre $>0$, per cui posso studiare il denominatore
$x^xlog(x)=-1$
Ma da qui non riesco a venirne fuori...
I miei dubbi riguardano questo risultato, se i passaggi e la logica che c'è dietro è corretta. Qual è il risultato, perché sul libro ho un valore esatto. E come posso approcciarmi a questi esercizi, cioè su esercizi che richiedono di trovare $i\nf$ e $su\p$ su insiemi definiti da funzioni o successioni (con eventuali restrizioni). Perché in questo caso ho utilizzato Desmos per aver un'idea di come fosse la funzione, fosse stata una funzione come $arctan(x-1)$ sarebbe stato già più semplice ma con $x^x$ non saprei come gestirlo il grafico.
Risposte
Per studiare l'iniettività, devi sostanzialmente studiare il segno della derivata prima.
E fin lì ci sono anche io, ma mi sono fermato in quel punto (post sopra), come posso andare avanti? Si riescono a dare delle risposte alle mie domande?
Novità?
Beh senti non lo so come il libro ha risolto quella equazione, ma il procedimento è corretto.
Ciao Frostman,
A me risulta $f'(x) = (x^x(log(x)+1))/(1+(x^x-1)^2) $, per cui dato che $x \in (0, +\infty) $ si ha $f'(x) >= 0 $ per $log(x) + 1 >= 0 \implies log(x) >= - 1 \implies log(x) >= log(1/e) \implies x >= 1/e $
A me risulta $f'(x) = (x^x(log(x)+1))/(1+(x^x-1)^2) $, per cui dato che $x \in (0, +\infty) $ si ha $f'(x) >= 0 $ per $log(x) + 1 >= 0 \implies log(x) >= - 1 \implies log(x) >= log(1/e) \implies x >= 1/e $
Aaah ecco, c'era solo un piccolo errore di conto.
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