Estremo inferiore ed esistenza successione
Buongiorno a tutti,
Questa sciocchezza mi sta tormentando da un paio di giorni.
Sia \((X,\|\cdot \|)\) uno spazio di Banach, sia $K \subset X$ convesso chiuso. Sia $x \in X$, poniamo:
\[d = d(x,K) = \inf_{z \in K} \|x-z\|\]
Allora esiste una successione \(\{z_n\}\) tale che \(\|x - z_n\| \to d\)
Non capisco, formalmente perché tale successione deve esistere e quali sono le ipotesi utilizzate per giustificarlo. Intuitivamente mi è chiaro, ma basarsi sull'intuizione in $RR^2$ non è consigliato.
Qualche hint non guasterebbe
Questa sciocchezza mi sta tormentando da un paio di giorni.
Sia \((X,\|\cdot \|)\) uno spazio di Banach, sia $K \subset X$ convesso chiuso. Sia $x \in X$, poniamo:
\[d = d(x,K) = \inf_{z \in K} \|x-z\|\]
Allora esiste una successione \(\{z_n\}\) tale che \(\|x - z_n\| \to d\)
Non capisco, formalmente perché tale successione deve esistere e quali sono le ipotesi utilizzate per giustificarlo. Intuitivamente mi è chiaro, ma basarsi sull'intuizione in $RR^2$ non è consigliato.
Qualche hint non guasterebbe
Risposte
Per definizione di estremo inferiore, per ogni \(n\in\mathbb{N}^+\) esiste \(z_n\in K\) tale che
\[
\| x - z_n\| < d + \frac{1}{n}\,.
\]
\[
\| x - z_n\| < d + \frac{1}{n}\,.
\]
Ti ringrazio per la risposta. Ahimè sono consapevole di avere lacune sul concetto di estremo superiore/inferiore, perdonami se dirò fesserie.
Cerco di riordinarmi le idee. Fissato $x$ consideriamo l'insieme \(A := \{\|x - z\| : z \in K\}\). Chiaramente $A \subset \mathbb{R}$ ed è limitato inferiormente. Quindi, per completezza (o proprietà dell'estremo inferiore), abbiamo che \(\inf A =: d\) esiste, e che (come hai scritto tu):
\[\forall n \in \mathbb{N}^+, \exists z_n \in K : \quad \| x - z_n\| < d + \frac{1}{n} \]
Penso di esserci. La mia difficoltà stava nel "trasportare" il concetto da \(\mathbb{R}\) a \(X\) attraverso la norma.
Le uniche ipotesi che ho usato sono la limitatezza di $A$, giusto? Quali sono le ipotesi minime per questo risultato?
A questo punto mi pare di capire che se si prende una funzione \(f: X \to \mathbb{R}\) tale che $f(K)$ sia limitato, anziché la norma, il tutto funziona lo stesso. É corretto?
Cioè se ho \(\inf_{z \in K} f(z) = d\) con lo stesso ragionamento posso affermare che esiste una successione \(\{z_n\}\) tale che \(f(z_n) \to d\)?
Cortesemente mi daresti un occhio a quello che ho scritto in spoiler nel primo post?
Grazie mille dell'aiuto
Cerco di riordinarmi le idee. Fissato $x$ consideriamo l'insieme \(A := \{\|x - z\| : z \in K\}\). Chiaramente $A \subset \mathbb{R}$ ed è limitato inferiormente. Quindi, per completezza (o proprietà dell'estremo inferiore), abbiamo che \(\inf A =: d\) esiste, e che (come hai scritto tu):
\[\forall n \in \mathbb{N}^+, \exists z_n \in K : \quad \| x - z_n\| < d + \frac{1}{n} \]
Penso di esserci. La mia difficoltà stava nel "trasportare" il concetto da \(\mathbb{R}\) a \(X\) attraverso la norma.
Le uniche ipotesi che ho usato sono la limitatezza di $A$, giusto? Quali sono le ipotesi minime per questo risultato?
A questo punto mi pare di capire che se si prende una funzione \(f: X \to \mathbb{R}\) tale che $f(K)$ sia limitato, anziché la norma, il tutto funziona lo stesso. É corretto?
Cioè se ho \(\inf_{z \in K} f(z) = d\) con lo stesso ragionamento posso affermare che esiste una successione \(\{z_n\}\) tale che \(f(z_n) \to d\)?
Cortesemente mi daresti un occhio a quello che ho scritto in spoiler nel primo post?
Grazie mille dell'aiuto
"Emar":
A questo punto mi pare di capire che se si prende una funzione \(f: X \to \mathbb{R}\) tale che $f(K)$ sia limitato, anziché la norma, il tutto funziona lo stesso. É corretto?
Cioè se ho \(\inf_{z \in K} f(z) = d\) con lo stesso ragionamento posso affermare che esiste una successione \(\{z_n\}\) tale che \(f(z_n) \to d\)?
In generale, se hai una funzione \(f\colon K\to\mathbb{R}\), (se vuoi pensa \(f\) definita in un insieme \(X\supset K\), non fa differenza), puoi sempre costruire una successione minimizzante \((z_n)\subset K\) tale che \(f(z_n) \to \inf_K f\), questo sia che l'estremo inferiore sia finito sia che l'estremo inferiore sia \(-\infty\), e quale che sia l'insieme \(K\).
Nel tuo spoiler sollevi una questione ulteriore: è vero che da una successione minimizzante posso estrarre una sottosuccessione convergente a un qualche \(z\in K\)?
Chiaramente, per rispondere a questa seconda domanda non ti basta più che \(K\) sia un insieme qualsiasi, ma ti serve che sia, ad esempio, uno spazio metrico (perché hai bisogno della nozione di convergenza). La richiesta tipica per far funzionare le cose è la compattezza di \(K\) (in modo tale da poter utilizzare Bolzano-Weierstrass), oppure qualche ipotesi mista fra \(f\) e \(K\) che garantisca di potersi ricondurre a questo caso (ad esempio, se \(K\subset\mathbb{R}^n\) la chiusura di \(K\) unita alla coercitività di \(f\) oppure, in spazi infinito-dimensionali, qualcosa come nel caso proposto, tipicamente \(f\) coercitiva e debolmente semicontinua inferiormente su un sottoinsieme chiuso e convesso di uno spazio di Banach).
Grazie mille per la risposta, molto utile!
Alla prossima
Alla prossima
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