Estremo inferiore e superiore
Ciao a tutti, spero di assillarvi il meno possibile anche se non so fino a quanto mi riuscirò a trattenere. Abbiate pietà di me 
.
Sono incappato in un prof particolare, solo al primo esonero ho provato a fare molti degli esercizi proposti, ma ne sono uscito con un 5 che mi ha lasciato così
Allora non mi resta che ricominciare da 0 sperando di capire meglio; mi sono imbattuto in questo esercizio, e vi chiedo lumi:
- Trovare estremo superiore e inferiore dell'insieme $A={1/(2^(n^2-3n+2)) : n in NN$
Ora, io ho provato a sostituire ovviamente la n con i numeri naturali, ottenendo come estremo superiore 1, mentre aumentando n si tende allo 0, diventando questo l'estremo inferiore. A voi la mannaia.
.Sono incappato in un prof particolare, solo al primo esonero ho provato a fare molti degli esercizi proposti, ma ne sono uscito con un 5 che mi ha lasciato così
Allora non mi resta che ricominciare da 0 sperando di capire meglio; mi sono imbattuto in questo esercizio, e vi chiedo lumi:
- Trovare estremo superiore e inferiore dell'insieme $A={1/(2^(n^2-3n+2)) : n in NN$
Ora, io ho provato a sostituire ovviamente la n con i numeri naturali, ottenendo come estremo superiore 1, mentre aumentando n si tende allo 0, diventando questo l'estremo inferiore. A voi la mannaia.
Risposte
l'esponente s'annulla per $n=1,2$, è negativo fra 1 e 2 ma non ti interessa perchè sei in $N$, dunque da 3 in poi l'esponente cresce quindi hai due estremi superiori che sono anche massimi, per $n=1,2$ e un estremo inferiore, $0$, per n che tende a $ +\ infty$
"Sergio":
Se $n=1$, si ha $n^2-3n+2=0$, $1/(2^0)=1$
L'esponente di 2 cresce sempre al crescere di $n$. Almeno così sembra "a occhio", ma si può verificare:
$n^2-3n+2 <= (n+1)^2-3(n+1)+2$
$n^2-3n+2 <= n^2+1+2n-3n-3+2$
$n^2-3n+2 <= n^2-n$
$-3n+2 <= -n$
$-2n <= -2$, vera per qualsiasi $n>=1$
Quindi l'estremo superiore è $1$ (calcolato sopra, ed è anche il massimo), mentre l'estremo inferiore è $1/2^oo=0$.
Non avevo mai pensato a questo aspetto, ma è logico e semplice. Essendo la n situata solo all'esponenziale del denominatore, anche da solo da la soluzione. E' proprio questo genere di mentalità che mi manca al momento, e queste spiegazioni non fanno altro che darmi una mano. Thx Sergio.
Edit: Marco, ma i due estremi superiori, per $n=1,2$, non coincidono con 1? In tal caso non si considera solo un estremo superiore, in $1$?
l'esponente è uguale a $(n-1)(n-2)$, dunque si annulla sia per $n=1$ che per $n=2$. La successione raggiunge il massimo (1) nei primi 2 naturali. Sostanzialmente non aggiunge nulla però è sbagliato dire che il massimo si raggiunge solo per $n=1$
Ho capito, grazie mille.
Allora, l'esponente è non decrescente per $n >=1$ ma diventa crescente da $n=3$ in poi, perchè nei primi due naturali vale zero, per $n=1$ esponente=0, $a_n =1$, per $n=2$ esponente=0, $a_n=1$, dunque da 1 a 2 $a_n$ non cambia ma è da $n=3$ in poi che comincia a crescere.
Quando dico che i due estremi superiori sono due massimi è implicito che i due estremi superiori coincidono e il massimo è uno solo, questo perchè stiamo cercando il massimo assoluto della successione.
Non ho detto che $n=1$ e $n=2$ sono gli estremi superiori ma ho detto che sono i valori di $NN$ per i quali $a_n=1$.
Per ultimo secondo me per la successione $n \to (-1)^n$ è evidente che il massimo è uno solo, 1, ed è assunto per infiniti valori di $NN$, mentre per la successione che stiamo considerando non è così evidente e, in alcuni casi, può anche servire, per esempio quando si dice che da un certo $n$ in poi il valore che assume la successione è circa infinito, se prima di quell'n c'è nè anche solo uno per cui la successione si annulla, quello che ho detto non è più vero. E' chiaro?
Quando dico che i due estremi superiori sono due massimi è implicito che i due estremi superiori coincidono e il massimo è uno solo, questo perchè stiamo cercando il massimo assoluto della successione.
Non ho detto che $n=1$ e $n=2$ sono gli estremi superiori ma ho detto che sono i valori di $NN$ per i quali $a_n=1$.
Per ultimo secondo me per la successione $n \to (-1)^n$ è evidente che il massimo è uno solo, 1, ed è assunto per infiniti valori di $NN$, mentre per la successione che stiamo considerando non è così evidente e, in alcuni casi, può anche servire, per esempio quando si dice che da un certo $n$ in poi il valore che assume la successione è circa infinito, se prima di quell'n c'è nè anche solo uno per cui la successione si annulla, quello che ho detto non è più vero. E' chiaro?
Va bene, la prendo persa. Per caso sei professore universitario?
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