Estremo inferiore di successione
ciao a tutti ho un dubbio con questo esercizio:
$ n^n/(3^n+n^n), n>=1, AA in mathbb(N) $
Devo trovare l'estremo inferiore...ho ancora qualche dubbio su questi esercizi, per esempio in questo caso mi basterebbe dimostrare che la successione sia monotona decrescente ($ AA n, a_n>a_(n+1) $ ) cosi poi facendo il limite troverei direttamente l'estremo inferiore...il problema è che non so come iniziare a discutere la cosa, devo applicare prima qualche criterio delle successioni o devo iniziare a trattarla normalmente e vedere se è crescente/decrescente?
$ n^n/(3^n+n^n), n>=1, AA in mathbb(N) $
Devo trovare l'estremo inferiore...ho ancora qualche dubbio su questi esercizi, per esempio in questo caso mi basterebbe dimostrare che la successione sia monotona decrescente ($ AA n, a_n>a_(n+1) $ ) cosi poi facendo il limite troverei direttamente l'estremo inferiore...il problema è che non so come iniziare a discutere la cosa, devo applicare prima qualche criterio delle successioni o devo iniziare a trattarla normalmente e vedere se è crescente/decrescente?
Risposte
Io per prima cosa calcolerei il limite e poi controllerei se è monotona. Il limite mi sembra 1, e la successione mi sembra monotona crescente, quindi l'inf non può essere 1. Poiché è monotona crescente l'inf lo avrà per il valore più piccolo possibile di n, cioè per n=1, dove assume il valore 1/4. Quindi l'inf è 1/4. Spero di non avere sbagliato calcoli.
"gabriella127":
Io per prima cosa calcolerei il limite e poi controllerei se è monotona. Il limite mi sembra 1, e la successione mi sembra monotona crescente, quindi l'inf non può essere 1. Poiché è monotona crescente l'inf lo avrà per il valore più piccolo possibile di n, cioè per n=1, dove assume il valore 1/4. Quindi l'inf è 1/4. Spero di non avere sbagliato calcoli.
Il tuo ragionamento è giusto, e tutto mi torna...Quello che volevo sapere io è come sviluppare in modo rigoroso la cosa cioè come dimostro che quella successione è crescente? provando con la disequazione $ a_n
non puoi usare la nozione di derivata, non esiste per le successioni.
Potresti provare per induzione.
Potresti provare per induzione.
"Kashaman":
non puoi usare la nozione di derivata, non esiste per le successioni.
Potresti provare per induzione.
Per le successioni no ma se considero la successione come $ f(x)=x^x/(3^x+x^x) $ nell'intervallo $ [1,+oo [ $ se non sbaglio si può fare...
Si Si! certo. E poi utilizzare il fatto che se $f$ è monotona allora lo è anche $f |_NN$ , provaci.
Io tratto le succcessioni con le derivate, e ogni tanto qualcuno mi sgrida, ma è del tutto rigoroso, una successsione è la restrizione ai naturali della funzione associata e c'è il Teorema Ponte
"Kashaman":
Si Si! certo. E poi utilizzare il fatto che se $f$ è monotona allora lo è anche $f |_NN$ , provaci.
Ok, facendo la derivata di $ f(x)=x^x/(3^x+x^x) $ mi viene: $ f'(x)=(e^(xlog(x)))/(e^(xlog(3))+ e^(xlog(x))) $ che dovrebbe essere 0 se consideriamo l'intervallo $ [1,+oo [ $ quindi $ f'(x)=0 $ e quindi la successione è debolmente crescente...tutto giusto?
La derivata mi sembra sempre positiva, tranne per x=1 dove si annulla, quindi la successione è strettamente crescente, ho provato pure a fare qualche calcolo numerico e torna. La derivata non l'ho controllata, appena ho un momento di tempo la faccio.
Ho sbagliato, non si annulla mai, ma quello che hai scritto non mi sembra la derivata, ma hai solo riscritto la funzione usando i logaritmi.
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