Estremo inferiore di $\int_0^1f(x)dx$ al variare di f
Ecco il mio grande tormento:
voglio trovare l'inf
sono riuscito a dimostrare applicando il teorema della media 'integrale (si puo perché f(x) è continua in [0,1]) e facendo vedere che i valore minimo che f(x) puo raggiungere è -1. Quindi l'insieme è limitato inferiormente e per bolzano ammette inf, dato che è chiaramente infinito. L'idea è che l'inf deve essere -1/2 ma non so come dimostrarlo. ho provato a usare la definizione di concavita ossia f è concava in I se presi x1 x2 si ha
f((1- $\lambda$)*x1- $\lambda$*x2) $>=$(1- $\lambda$)f(x1)- $\lambda$*f(x2) con $\lambda$ appartenente a ]0,1[ e sostituendo x1=0 e x2=1 di cui so i valori. l'idea e che deve valere l'uguaglianza, ma non sono giunto da nessuna parte.
Grazie a chi decidesse aiutarmi
trovare l'inf $\int_0^1f(x)dx$ dove f(x) appartiene all'insieme delle funzioni concave e continue in [0,1] e t.c. f(0)=0 f(1)=-1 e t.c. f'(0)=1
voglio trovare l'inf
sono riuscito a dimostrare applicando il teorema della media 'integrale (si puo perché f(x) è continua in [0,1]) e facendo vedere che i valore minimo che f(x) puo raggiungere è -1. Quindi l'insieme è limitato inferiormente e per bolzano ammette inf, dato che è chiaramente infinito. L'idea è che l'inf deve essere -1/2 ma non so come dimostrarlo. ho provato a usare la definizione di concavita ossia f è concava in I se presi x1 x2 si ha
f((1- $\lambda$)*x1- $\lambda$*x2) $>=$(1- $\lambda$)f(x1)- $\lambda$*f(x2) con $\lambda$ appartenente a ]0,1[ e sostituendo x1=0 e x2=1 di cui so i valori. l'idea e che deve valere l'uguaglianza, ma non sono giunto da nessuna parte.
Grazie a chi decidesse aiutarmi
Risposte
Puoi, ad esempio, considerare per \(\epsilon\in (0,1)\) funzioni del tipo
\[
f_{\epsilon}(x) :=
\begin{cases}
x, & \text{se}\ x\in [0, \epsilon],\\
\epsilon - \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}(x-\epsilon), & \text{se}\ x\in[\epsilon, 1]\,.
\end{cases}
\]
\[
f_{\epsilon}(x) :=
\begin{cases}
x, & \text{se}\ x\in [0, \epsilon],\\
\epsilon - \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}(x-\epsilon), & \text{se}\ x\in[\epsilon, 1]\,.
\end{cases}
\]
grazie per la risposta
la funzione verifica le richieste ( è convessa, f(1)=-1 eccetera eccetera) posso spezzare l'integrale in due $\int_0^cf(x)dx$ e $\int_c^1f(x)dx$ dove c=$\epsilon$ (non riuscivo a scriverlo direttamente)
detto questo è facile calcolare l'integrale. poi si fa tendere $\epsilon$ a zero ed il risultato è -1/2
Penso anche di aver capito perché hai scelto proprio quella funzione per avere una funzione "meno concava possibile" ovvero sia una retta che inizii con una pendente positiva pari a uno ( la retta x) La funzione è il risultato di imporre che f sia continua, in particolare nel punto epsilon, e dal fatto di avere una pendente tale che f(1)=1.
A questo punto mi sorge spontanea un altra domanda. come posso provare il fatto intuitivo che -1/2 sia inf ?
dovrei provare due cose 1) che -1/2 è un minorante 2) che ogni numero strettamente maggiore di -1/2 non è un minorante. ma a questo punto mi perdo.
la funzione verifica le richieste ( è convessa, f(1)=-1 eccetera eccetera) posso spezzare l'integrale in due $\int_0^cf(x)dx$ e $\int_c^1f(x)dx$ dove c=$\epsilon$ (non riuscivo a scriverlo direttamente)
detto questo è facile calcolare l'integrale. poi si fa tendere $\epsilon$ a zero ed il risultato è -1/2
Penso anche di aver capito perché hai scelto proprio quella funzione per avere una funzione "meno concava possibile" ovvero sia una retta che inizii con una pendente positiva pari a uno ( la retta x) La funzione è il risultato di imporre che f sia continua, in particolare nel punto epsilon, e dal fatto di avere una pendente tale che f(1)=1.
A questo punto mi sorge spontanea un altra domanda. come posso provare il fatto intuitivo che -1/2 sia inf ?
dovrei provare due cose 1) che -1/2 è un minorante 2) che ogni numero strettamente maggiore di -1/2 non è un minorante. ma a questo punto mi perdo.
Innanzitutto è chiaro che l'insieme \(A\subset\mathbb{R}\) degli integrali delle funzioni appartenenti alla classe specificata è limitato inferiormente da \(-1/2\), dal momento che qualsiasi funzione concava \(f\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) tale che \(f(0) = 0\), \(f(1) = -1\) soddisfa
\[
f(x) = f((1-x)\cdot 0 + x\cdot 1) \geq (1-x)\cdot f(0) + x\cdot f(1) = -x,
\]
dunque \(\int_0^1 f(x)\, dx \geq -1/2\).
D'altra parte, quella scritta nel messaggio precedente è una successione minimizzante, cioè tale che
\[
\lim_{\epsilon\to 0+} \int_0^1 f_{\epsilon}(x)\, dx = -\frac{1}{2}\,.
\]
Di conseguenza l'insieme \(A\) non può avere minoranti più grandi di \(-1/2\), dal momento che per ogni \(y > -1/2\) esiste \(\epsilon > 0\) tale che \(\int_0^1 f_{\epsilon} < y\).
In conclusione, \(-1/2\) è il massimo dei minoranti di \(A\) dunque, per definizione, è l'estremo inferiore di \(A\).
\[
f(x) = f((1-x)\cdot 0 + x\cdot 1) \geq (1-x)\cdot f(0) + x\cdot f(1) = -x,
\]
dunque \(\int_0^1 f(x)\, dx \geq -1/2\).
D'altra parte, quella scritta nel messaggio precedente è una successione minimizzante, cioè tale che
\[
\lim_{\epsilon\to 0+} \int_0^1 f_{\epsilon}(x)\, dx = -\frac{1}{2}\,.
\]
Di conseguenza l'insieme \(A\) non può avere minoranti più grandi di \(-1/2\), dal momento che per ogni \(y > -1/2\) esiste \(\epsilon > 0\) tale che \(\int_0^1 f_{\epsilon} < y\).
In conclusione, \(-1/2\) è il massimo dei minoranti di \(A\) dunque, per definizione, è l'estremo inferiore di \(A\).
Adesso mi è chiaro, grazie mille rigel, mi hai salvato
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