Estremo inferiore

[fabiola5]

Allora, ho un nuovo miniproblema:
ho un insieme A, int(A)=parte interna di A e Cl(int A) chiusira della parte interna di A; ho una funzione $f:A->[0,infty]$ continua quindi so che per ogni $x_i in$ int(A) tale che $x_i->x$ per $x in$ cl(intA) si ha che $lim f(x_i)=f(x)$.
Ora vi risulta che per $y in$ int A inf $f(y)<=f(x)$ per ogni $x in$ cl(int A)?
Sapreste spiegarmi il motivo?

[Chevtchenko]

"fabiola":Allora, ho un nuovo miniproblema:
ho un insieme A, int(A)=parte interna di A e Cl(int A) chiusira della parte interna di A; ho una funzione $f:A->[0,infty]$ continua quindi so che per ogni $x_i in$ int(A) tale che $x_i->x$ per $x in$ cl(intA) si ha che $lim f(x_i)=f(x)$.
Ora vi risulta che per $y in$ int A inf $f(y)<=f(x)$ per ogni $x in$ cl(int A)?
Sapreste spiegarmi il motivo?

Basta tener presente che un'applicazione continua, in parole povere, non stacca i punti aderenti; cioe' se $E$ ed $F$ sono spazi topologici, $f : E \rightarrow F$ e' continua e $X \subseteq E$, allora $f(cl(X)) \subseteq cl(f(X))$.

E allora, tornando al Vostro esempio, se $B$ e' l'interno di $A$ e se $x \in cl(B)$, allora $f(x)$ apparterra' alla chiusura di $f(B)$. Ed e' facile vedere che l'inf di $f(B)$ coincide con l'inf di $cl(f(B))$...

[fabiola5]

ciao sandokan,
ti ringrazio per la tua risposta (posso darti del tu? visto che tu mi dai del voi, non so se mi sto sbilanciando troppo ...)
ok, la tua soluzione è chiara e una volta assodato questo, il gioco è fatto, ma quel è facile vedere che?perchè non mi sembra benale?
grazie ancora

[Chevtchenko]

"fabiola":ciao sandokan,
ti ringrazio per la tua risposta (posso darti del tu? visto che tu mi dai del voi, non so se mi sto sbilanciando troppo ...)

Sara' un onore per me!

"fabiola":ok, la tua soluzione è chiara e una volta assodato questo, il gioco è fatto, ma quel è facile vedere che?perchè non mi sembra benale?
grazie ancora

Una dimostrazione alla buona (quick'n'dirty, come dicono gli Americani) puo' essere questa:

Sia S un sottoinsieme non vuoto di [0, +oo], vogliamo far vedere che inf S = inf cl(S). Ovviamente basta provare che inf S <= inf cl(S). Inoltre, possiamo supporre che S non sia {+oo} (altrimenti S = cl(S)), cio' che implica inf cl(S) < +oo.

Scelto eps > 0, esiste certo un x in cl(S) tale che x < inf cl(S) + eps/2; ma allora esiste anche y in S tale che |x - y| < eps/2. Ne segue y < inf cl(S) + eps e quindi inf S < inf cl(S) + eps. Per l'arbitrarieta' di eps, inf S <= inf cl(S).

[fabiola5]

ok,
grazie mille tutto molto chiaro