Estremo inferiore
Ciao amici,
ho dei dubbi su come calcolare gli estremi, cioè riesco a trovarlo ma non riesco a determinarlo. Io procedo in questo modo
\(\displaystyle E = \tfrac{n^2}{n+3}; n\in\mathbb{N} \)
per \(\displaystyle n=1 \) si ha il piccolo valore che è \(\displaystyle \tfrac{1}{4} \)
procedo con la seguente formula: \(\displaystyle \forall h>0 \exists x \in E : x
pertanto si ha
\(\displaystyle \tfrac{n^2}{n+3} < \tfrac{1}{4} +h \)
segue:
\(\displaystyle \tfrac{n^2}{n+3} - \tfrac{1}{4} -h< 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{4n^2-n-3-4nh-12h}{4(n+3)} < 0 \)
\(\displaystyle 4n^2-n-3-4nh-12h < 0 \)
\(\displaystyle n(4n-1-4h)<3+12h \)
dopodiché non so come continuare, non se ho fatto bene con questa procedura.
So che è uno cosa facile ma mi blocco.
Grazie in anticipo
ho dei dubbi su come calcolare gli estremi, cioè riesco a trovarlo ma non riesco a determinarlo. Io procedo in questo modo
\(\displaystyle E = \tfrac{n^2}{n+3}; n\in\mathbb{N} \)
per \(\displaystyle n=1 \) si ha il piccolo valore che è \(\displaystyle \tfrac{1}{4} \)
procedo con la seguente formula: \(\displaystyle \forall h>0 \exists x \in E : x
pertanto si ha
\(\displaystyle \tfrac{n^2}{n+3} < \tfrac{1}{4} +h \)
segue:
\(\displaystyle \tfrac{n^2}{n+3} - \tfrac{1}{4} -h< 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{4n^2-n-3-4nh-12h}{4(n+3)} < 0 \)
\(\displaystyle 4n^2-n-3-4nh-12h < 0 \)
\(\displaystyle n(4n-1-4h)<3+12h \)
dopodiché non so come continuare, non se ho fatto bene con questa procedura.
So che è uno cosa facile ma mi blocco.
Grazie in anticipo
Risposte
per dimostrare che è inf devi mostrare che:
1. $1/4$ è minorante: $AA n in NN$ hai che $1/4 <= n^2/(n+3)$
2. $1/4+epsilon$ non è minorante (la disuguaglianza di prima non è vera per tutti i naturali)
io farei così
1. $1/4$ è minorante: $AA n in NN$ hai che $1/4 <= n^2/(n+3)$
2. $1/4+epsilon$ non è minorante (la disuguaglianza di prima non è vera per tutti i naturali)
io farei così
cooper ha ragione, e sono sicura che tu non abbia difficoltà a risolvere la disequazione $n^2/(n+3)>= 1/4$ o a dimostrare che la funzione è crescente per ogni $n$ e che, quindi per $n=1$ ottieni il minimo.
Resta comunque il problema che non sai risolvere la disequazione $n^2/(n+3)< 1/4 +h $
fino a $4n^2-n-3-4nh-12h<0$ va bene, hai eliminato un denominatore sempre positivo.
Quella che hai di fronte adesso è una disequazione di secondo grado nell'incognita $n$, per prima cosa bisogna scriverla in forma normale
$4n^2-(1+4h)n-3(1+4h)<0$
Poi bisogna trovare le soluzione dell'equazione associata $n_(1,2)=(1+4h+-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$,
il discriminante è sempre positivo perché $h>0$, in teoria le soluzioni della disequazione sono
$n< (1+4h-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8 vv n>(1+4h+sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$
ma $(1+4h-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8 $ è negativo per ogni $h$,
quindi la soluzione è solo $n>(1+4h+sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$, che essendo un intorno dell'unico punto di accumulazione dei naturali ($+oo$) garantisce la validità della soluzione.
Resta comunque il problema che non sai risolvere la disequazione $n^2/(n+3)< 1/4 +h $
fino a $4n^2-n-3-4nh-12h<0$ va bene, hai eliminato un denominatore sempre positivo.
Quella che hai di fronte adesso è una disequazione di secondo grado nell'incognita $n$, per prima cosa bisogna scriverla in forma normale
$4n^2-(1+4h)n-3(1+4h)<0$
Poi bisogna trovare le soluzione dell'equazione associata $n_(1,2)=(1+4h+-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$,
il discriminante è sempre positivo perché $h>0$, in teoria le soluzioni della disequazione sono
$n< (1+4h-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8 vv n>(1+4h+sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$
ma $(1+4h-sqrt((1+4h)(13+4h)))/8 $ è negativo per ogni $h$,
quindi la soluzione è solo $n>(1+4h+sqrt((1+4h)(13+4h)))/8$, che essendo un intorno dell'unico punto di accumulazione dei naturali ($+oo$) garantisce la validità della soluzione.
Grazie
Allora la 1. è verificata, dato che \(\displaystyle \forall n \ge 1 \) si ha la prima.
Invece per la seconda si ha \(\displaystyle \tfrac{1}{4}+
\varepsilon=a : a \in E \)?
Allora la 1. è verificata, dato che \(\displaystyle \forall n \ge 1 \) si ha la prima.
Invece per la seconda si ha \(\displaystyle \tfrac{1}{4}+
\varepsilon=a : a \in E \)?
non avevo recepito che non sapessi risolvere la disequazione, scusami!
la soluzione comunque la postata @melia
si bhe chiama quella cosa come vuoi, il punto è che devi risolvere la disequazione del post precedente il tuo.
la soluzione comunque la postata @melia
"galles90":
Grazie
Allora la 1. è verificata, dato che \( \displaystyle \forall n \ge 1 \) si ha la prima.
Invece per la seconda si ha \( \displaystyle \tfrac{1}{4}+ \varepsilon=a : a \in E \)?
si bhe chiama quella cosa come vuoi, il punto è che devi risolvere la disequazione del post precedente il tuo.
Grazie cooper e melia 
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