Estremo inferiore

[Armstrong]

Buon martedì,
non riesco a completare una parte di questo esercizietto.

Si consideri l'insieme
$A={x in R : x= n^2*[cos(n*Pi)-1], n in N}$

Ho dimostrato che il supA=0=maxA

Non riesco a dimostrare che l'estremo inferiore di A è infA= $-oo $

Cioè affinchè l'insieme A non sia inferiormente limitato

infA= $-oo hArr AA m in R ,EE ain A : a<= m $

[axpgn]

È sufficiente porre $n=2m+1$ ...

[Armstrong]

"axpgn":È sufficiente porre $n=2m+1$ ...

Intuitivamente mi è venuta in mente la stessa cosa,però non riesco a dimostrarlo con i calcoli.
Cioè se pongo n come un generico numero dispari
$n =2c+1 $ con $ c in N$

Devo dimostrare che
$ AA m in R,$ esiste un elemento dell'insieme A tale che
$ n^2*[cos(n*Pi)-1] <= m $ ossia che infA=$-oo$

considero gli n dispari

$ (2c+1)^2*(-2) <= m $

Ora un numero dispari elevato al quadrato da come risultato un numero dispari,quindi posso tralasciare l'elevamento al quadrato.

$ -4c <= m+2$
$ 4c >= -m+2$
Ed ora per il principio di Archimede la disequazione è verificata..
Cosi può andar bene?

[axpgn]

La fai complicata ...

Dato $m$ poni $n=2m+1$ per cui $x=(2m+1)^2*(cos(2pim+pi)-1)=(2m+1)^2*(cos(pi)-1)=(2m+1)^2*(-2)

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[Armstrong]

"axpgn":La fai complicata ...

Dato $m$ poni $n=2m+1$ per cui $x=(2m+1)^2*(cos(2pim+pi)-1)=(2m+1)^2*(cos(pi)-1)=(2m+1)^2*(-2)


Proprio non riesco a capire
Cioè devo dimostrare che preso un qualsiasi numero reale m, esiste un numero che fa parte dell'insieme A più piccolo di m.
Non capisco l'ultimo passaggio $ (2m+1)^2*(-2)

Cita

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[axpgn]

Dunque ... tu devi dimostrare che preso un numero reale $m$ "piccolo" a piacere (per "piccolo" qui intendo che se $a Per trovarlo, io mi costruisco $n$ nel modo descritto e cioè $n=2m+1$: questo non è certo l'unico modo per risolvere la questione, chissà quanti ne esistono; semplicemente mi è venuta in mente questo e mi pare semplice ...
Se scelgo $n$ in quel modo allora $x$ diventa $ x=(2m+1)^2*(cos(2pim+pi)-1$; si può notare che l'angolo $2pim+pi$ è uguale a $pi$ dato che è la somma di $pi$ e di $m$ angoli-giro.[nota]Per essere precisi qualora $m$ non fosse intero basta prendere un qualsiasi intero $m'$ minore di $m$ e usare quello: se dimostro che $x Proseguendo otterrò quindi $x=(2m+1)^2*(cos(pi)-1)=(2m+1)^2*(-1-1)=(2m+1)^2*(-2)$ ovvero ottengo un numero $x$ che è sempre negativo e il cui valore assoluto è maggiore del valore assoluto $m$ (cioè $|-2*(2m+1)^2|>|m|$).
Ho quindi dimostrato che per qualsiasi valore di $m$ sono SEMPRE in grado di trovare un numero minore di $m$.

Cordialmente, Alex