[Estremi vincolati]Triangolo di massima area inscritto

[acero1]

Salve a tutti,
Ho un problema con questo esercizio che mi chiede semplicemente come determinare l'area del triangolo isoscele di area massima iscrivibile in una circonferenza....

Premesso che esercizi del genere al corso non sono mai stati proposti, ho provato, seguendo per sommi capi alcune metodologie per risolvere il problema.

Ho posto un lato (uno dei due uguali) $l=x$ ed ho supposto che il perimetro del triangolo fosse p
al che attraverso passaggi geometrici mi sono ricavato l'area
$A=((p-2x)x cos alpha)/2$

quindi successivamente ho applicato il teorema dei moltiplicatori di lagrange considerando la funzione $f(x,y)=((p-2x)x cos alpha)/2$ e il vincolo $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$

In conclusione vi chiedo solo se il ragionamento è giusto...in caso contrario sono lieti dei suggerimenti perchè io veramente non ho la piu pallida idea di come svolgere esercizi del genere

[chiaraotta1]

Se indichi con $x$ uno degli angoli alla base del triangolo isoscele, l'angolo al vertice è $\pi - 2x$. Dal teorema della corda i due lati obliqui misurano $2 * r * sen x$ e la base $2 * r * sen(\pi - 2x) = 2 * r * sen 2x$. Quindi l'area è $S(x) = 1/2 * 2 * r * sen x * 2 * r * sen 2x * sen x = 4 * r^2 * sen^3 x * cos x$ con $0 <= x <= \pi/2$. Se calcoli la derivata e ne studi gli zeri e il segno trovi che a) $S'(x) = 4 * r^2 * (3 sen^2 x * cos^2 x - sen^4 x) = 4 * r^2 * sen^2 x * (sqrt(3) * cos x - sen x) * (sqrt(3) * cos x + sen x)$; b) le radici nel dominio della funzione sono $x = 0$ e $x = pi/3$; c) $S'(x) > 0$ per $0 <= x < \pi/3$ e $S'(x) < 0$ per $\pi/3 < x <= \pi/2$. Quindi il massimo dell'area è per $x = \pi/3$, cioè quando il triangolo isoscele è anche equilatero. Il valore dell'area massima è $S(\pi/3) = 3/4 * sqrt(3) * r^2

[acero1]

ti ringrazio sei stata gentilissima...

volevo chiedere un'informazione riguardo un altro esercizio in cui viene chiesto di fare lo stesso ma questa volta la figura è un rettangolo inscritto in una ellisse...
io l'esercizio l'ho svolto diversamente perchè,siccome dava il suggerimento, dicendo di considerare il rettangolo come un quarto della funzione &f(x,y)=xy&,ho applicato il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

ora il mio dubbio o curiosità è inerente al perchè l'uso di un quarto della funzione &f(x,y)=xy&

[chiaraotta1]

Se l'equazione dell'ellisse è $(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1$, $P(x, y)$ è un punto generico dell'ellisse nel primo quadrante, allora $x * y = 1/4$ dell'area del rettangolo inscritto. Poiché $y = b/a * sqrt(a^2 - x^2)$, l'area $S(x) = 4 * x * y = 4 * b/a * x * sqrt(a^2 - x^2)$ con $0 <= x <= a$. Se studi la derivata di $S(x)$ trovi che: a) $S'(x) = 4 * b/a * (sqrt(a^2 - x^2) + x * (-2 * x)/(2 * sqrt(a^2 - x^2))) = 4 * b/(a * sqrt(a^2 - x^2)) * (a^2 - 2 * x^2)$; b) $S'(x) = 0$ per $x = (sqrt(2)/2) * a$; c) $S'(x) > 0$ per $0 <= x <= (sqrt(2)/2) * a$ e $S'(x) < 0$ per $(sqrt(2)/2) * a <= x <= a$. Quindi il massimo si ha per $x = (sqrt(2)/2) * a$ e vale $S((sqrt(2)/2) * a) = 2 * a * b$.

[acero1]

Grazie chiaraotta, fortunatamente i miei calcoli coincidono con i tuoi xD

la mia domanda è solo riguardo al perchè si prende quell'equazione....purtroppo non riesco a capire il meccanismo con il quale si prende quella funzione...

[chiaraotta1]

Se disegni la figura e prendi $P(x, y)$ nel primo quadrante, ti rendi subito conto che il prodotto $x * y$ è l'area di quel rettangolo che ha per vertici l'origine $O$, le proiezioni di $P$ sugli assi coordinati e il punto $P$ stesso. Questo rettangolo è $1/4$ del rettangolo inscritto che ha per vertici $P$ e i punti dell'ellisse simmetrici di $P$ rispetto all'origine $O$ e agli assi coordinati.