Estremi vincolati, mi dareste una mano per favore?
Salve a tutti, potreste spiegarmi come si procede per la risoluzione di questa tipologia di esercizio?
E' importante, grazie.
Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione $ f (x, y, z) = y + z $ sull’insieme degli
$ (x, y, z) in R^3 $ che soddisfano i vincoli $ x^2 + y^2 + z^2 = 2 $ e $ z = x^2 + y^2 $ .
E' importante, grazie.
Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione $ f (x, y, z) = y + z $ sull’insieme degli
$ (x, y, z) in R^3 $ che soddisfano i vincoli $ x^2 + y^2 + z^2 = 2 $ e $ z = x^2 + y^2 $ .
Risposte
Prima di tutto metterei a sistema i vincoli, per vedere qual è la regione su cui è vincolata la funzione. Se non ho sbagliato i conti la soluzione del sistema
$\{(x^2 + y^2 + z^2 = 2),(z = x^2 + y^2):}$
è (controllala...)
$\{(z = 1),(x^2 + y^2 = 1):}$
Di conseguenza studiare max/min assoluto della $f$ equivale a studiare max/min assoluto della funzione
$g(x,y) = y + 1$
con il vincolo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}$. Ora puoi passare in coordinate polari, sostituire l'espressione di $y$ nella $g$ e calcolare max e min assoluto (quella che ottieni è una funzione di una sola variabile). In questo modo trovi max/min assoluto di $g$, per ottenere i rispettivi max/min assoluti di $f$ ti basta ricordare che la variabile $z$ è fissata ad $1$.
$\{(x^2 + y^2 + z^2 = 2),(z = x^2 + y^2):}$
è (controllala...)
$\{(z = 1),(x^2 + y^2 = 1):}$
Di conseguenza studiare max/min assoluto della $f$ equivale a studiare max/min assoluto della funzione
$g(x,y) = y + 1$
con il vincolo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}$. Ora puoi passare in coordinate polari, sostituire l'espressione di $y$ nella $g$ e calcolare max e min assoluto (quella che ottieni è una funzione di una sola variabile). In questo modo trovi max/min assoluto di $g$, per ottenere i rispettivi max/min assoluti di $f$ ti basta ricordare che la variabile $z$ è fissata ad $1$.
"Tipper":
Prima di tutto metterei a sistema i vincoli, per vedere qual è la regione su cui è vincolata la funzione. Se non ho sbagliato i conti la soluzione del sistema
$\{(x^2 + y^2 + z^2 = 2),(z = x^2 + y^2):}$
è (controllala...)
$\{(z = 1),(x^2 + y^2 = 1):}$
Di conseguenza studiare max/min assoluto della $f$ equivale a studiare max/min assoluto della funzione
$g(x,y) = y + 1$
con il vincolo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1\}$. Ora puoi passare in coordinate polari, sostituire l'espressione di $y$ nella $g$ e calcolare max e min assoluto (quella che ottieni è una funzione di una sola variabile). In questo modo trovi max/min assoluto di $g$, per ottenere i rispettivi max/min assoluti di $f$ ti basta ricordare che la variabile $z$ è fissata ad $1$.
Ti ringrazio per la risposta e per l'aiuto... Buona giornata
GRAZIEEEEEEEEEEEEEEEEEE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo