Estremi vincolati, metodo parametrico

[gcan]

Potete aiutarmi anche con alcuni esempi a capire passo passo tutti i passaggi che devo fare per trovare il max e il min assoluti vincolati ad un insieme?
Grazie mille, è molto importante!

[gio73]

ti conviene postare un esempio

[gcan]

$f(x,y)=log(8+xy)$
Devo calcolare il max e min assoluti di quest funzione sull'insieme $Q[-2,2]^2$
Come faccio?

[gio73]

Intanto disegnati il dominio e descrivimelo

[gcan]

$D={(x,y)inR^2: 8+xy>0}$

[gcan]

Il dominio rappresenta due parabole, una nel 2 e una nel 3 quadrante

[Noisemaker]

il dominio rappresenta un iperbole ...

[gcan]

Ok, ora ho pensato di parametrizzare i segmenti del quadrato, giusto? Con la formula A+t[B-A]!

[gio73]

Ciao
ho provato ad affrontare il tuo esercizio (sempre se ho interpretato bene la consegna, $Q[-2;2]^2$ è il quadrato di vertici $A(2;2) B(2;-2) C(-2;-2) D(-2;2)$?) facendo qualche considerazione diversa dal solito e potrei aver preso delle cantonate. E' possibile che il massimo si abbia in corrispondenza dei vertici A e C, quelli con le coordinate concorsi, e i minimi in corrispondenza dei vertici B e D, quelli con le coordinate discordi?
Nel caso spiego.

[gcan]

Esatto, come hai fatto?

[gio73]

Mi fa piacere averci preso.
Prima però bisogna pensare a te: devi trovare un modo per procedere, poi facciamo anche considerazioni di altro genere.
Hai verificato che l'insieme dove andiamo a cercare massimi e minimi è tutto dentro il dominio della funzione?
Ora controlliamo se lì dentro ci sono punti critici, come si fa?
Se ci sono verifichiamone la natura: se sono selle non ci stiamo a preoccupare di calcolare il loro valore, se sono massimi o minimi invece dovremo confrontarli con i punti che troveremo sulla frontiera e sui vertici.
Procedi, poi ti esporrò un metodo alternativo. Prego fracassone Noisemaker di controllare la validità del procedimento alternativo quando lo esporrò.

[gcan]

Parametrizzo la frontiera del quadrato?

[gio73]

Fai e poi vediamo.

[gcan]

dunque, iniziamo parametrizzando il primo segmento, quello che va da A a B
$gamma=(2,2-4t)$
sostituisco la curva nella funzione, in modo da avere una funzione con la sola variabile t
$f(gamma(t))=log(8+2*(2-4t))$
ora la pongo maggiore uguale a zero per studiarne il segno
trovo $t<=3/2$
questo potrebbe essere un massimo
ora sostituisco questo valore della nella mia curva iniziale, così trovo il punto in cui la funzione potrebbe raggiungere il suo massimo!
è giusto il procedimento?
posso procedere con i restanti tre segmenti?
P.S. riflettendo anche sulla possibile esistenza di punti sul quadrato stesso (come in realtà, alla fine, si vedrà), come faccio a trovare i valori di massimo e di minimo attraverso i punti A,B,C,D?

[gio73]

"Giugiu93": dunque, iniziamo parametrizzando il primo segmento, quello che va da A a B
$gamma=(2,2-4t)$
sostituisco la curva nella funzione, in modo da avere una funzione con la sola variabile t
$f(gamma(t))=log(8+2*(2-4t))$
ora la pongo maggiore uguale a zero per studiarne il segno
trovo $t<=3/2$
questo potrebbe essere un massimo

A me non viene così, da A a B mi viene sempre decrescente (se facessi da B ad A mi verrebbe sempre crescente), mi fai vedere i tuoi conti?

"Giugiu93":
P.S. riflettendo anche sulla possibile esistenza di punti sul quadrato stesso (come in realtà, alla fine, si vedrà), come faccio a trovare i valori di massimo e di minimo attraverso i punti A,B,C,D?

basta che sostituisci le coordinate dei vari punti nella funzione e vedi che valori ti sputa fuori.

[gcan]

quando studio il segno pongo $12-8t>=0$ quindi $t<=3/2$
così $++++++++++ 3/2 -----------$
giusto?

[Noisemaker]

Vogliamo calcolare i massmi e i minimi della funzione
\[f(x,y):=\ln(8+xy),\]
relativamente all'insieme
\[A:=\{(x;y)\in\mathbb{R^2}: -2\le x\le2,-2\le y\le2\}.\]
Il dominio della funzione $f$ è dato da $xy+8>0$, ovvero dalla regione del piano compresa tra i due rami dell'iperbole di equazione $y=-8/x;$ l'insieme $A$ è contenuto nel dominio di $f$ e quindi il problema è ben posto. Schematizzando graficamente il dominio di $f$ e l'insieme $A$ otteniamo il seguente grafico

La funzione $f\inC^{\infty}(A),$ quindi differenziabile (e quindi continua); inoltre, l'insime $A$ è compatto, cioè chiuso e limitato, quindi per il teorema di Weierstrass la funzione $f$ ammette punti di massimo e minimo assoluti su $A.$ La ricerca di tali punti va fatta tra i punti interni all'insieme $A$ in cui il gradiente di $f$ si annulla e sulla frontiera di $A.$

[*:sfm1thp9] Punti interni ad $A$
Calcolando ed annullando in gradiente di $f$ si ha:
\begin{align}
\nabla\left(\frac{y}{8+xy};\frac{x}{8+xy}\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0,y=0;
\end{align}
il gradiente si annulla nel punto $O(0;0)\in A;$ per stabilirne la natura, possiamo o calcolare la matrice Hessiana, oppure, più semplicemnte, considerare le due sezioni lungo le rette $y=x$ e $y=-x,$ ed osservare che
\begin{align}
g(x):=f(x;x)=\ln(8+x^2)\quad\Rightarrow\quad g'(x)&=\frac{2x}{ 8+x^2 }\quad\Rightarrow\quad g'(0)=0\\
g''(x)&=-\frac{2(x^2-8)}{( x^2+8)^2}\quad\Rightarrow\quad g''(0)=1/2>0,
\end{align}
il punto di $0$ è un punto di minimo;
\begin{align}
h(x):=f(x;-x)=\ln(8-x^2)\quad\Rightarrow\quad h'(x)&=\frac{2x}{ x^2-8 }\quad\Rightarrow\quad h'(0)=0\\
h''(x)&=-\frac{2(x^2+8)}{( x^2-8)^2}\quad\Rightarrow\quad h''(0)=-1/2<0,
\end{align}
il punto di $0$ è un punto di massimo. Allora il punto $O(0;0),$ essendo massimo lungo una sezione e minimo lungo un'altra sezione, è un punto sella.I punti di massimo e minimo, garantiti dal teorema di Weierstrass, si troveranno sulla frontiera di $A.$[/*:m:sfm1thp9]
[*:sfm1thp9] Frontiera di $A$
Analizzando la frontiera, possiamo considerare le varie sezioni della funzione $f(x;y)$ lungo i lati del quadrato.


[*:sfm1thp9]Lungo la retta $x=-2$ studiamo la funzione $f(-2;y)$ con $y\in[-2;2]:$
\begin{align}
v(y):=f(-2;y)=\ln(8-2y)\quad\Rightarrow\quad v'(y)&=\frac{1}{y-4};
\end{align}
evidentemente questa funzione, ristretta all'intervallo $[-2;2]$ ammetterà un massimo in $y=-2$ e un minimo in $y=2.$
Pertanto la funzione di due variabili $f(x,y)$ sul tratto di frontiera della retta $x=-2$ avrà:
\begin{align}
M_1(-2;-2),\qquad m_1(-2;2).
\end{align}[/*:m:sfm1thp9]
[*:sfm1thp9]Lungo la retta $x=2$ studiamo la funzione $f( 2;y)$ con $y\in[-2;2]:$
\begin{align}
w(y):=f( 2;y)=\ln(8+2y)\quad\Rightarrow\quad w'(y)&=\frac{1}{y+4};
\end{align}
evidentemente questa funzione, ristretta all'intervallo $[-2;2]$ ammetterà un minimo in $y=-2$ e un massimo in $y=2.$
Pertanto la funzione di due variabili $f(x,y)$ sul tratto di frontiera della retta $x=2$ avrà:
\begin{align}
M_2(2;2),\qquad m_2(2;-2).
\end{align}[/*:m:sfm1thp9]
[*:sfm1thp9]Lungo la retta $y=-2$ studiamo la funzione $f(x;-2)$ con $x\in[-2;2]:$
\begin{align}
t(x):=f(x;-2)=\ln(8-2y)\quad\Rightarrow\quad t'(x)&=\frac{1}{x-4};
\end{align}
evidentemente questa funzione, ristretta all'intervallo $[-2;2]$ ammetterà un massimo in $x=-2$ e un minimo in $x=2.$
Pertanto la funzione di due variabili $f(x,y)$ sul tratto di frontiera della retta $y=-2$ avrà:
\begin{align}
M_3(-2;-2),\qquad m_3(2;-2).
\end{align}[/*:m:sfm1thp9]
[*:sfm1thp9]Lungo la retta $y= 2$ studiamo la funzione $f( x; 2)$ con $x\in[-2;2]:$
\begin{align}
z(x):=f( 2;y)=\ln(8+2x)\quad\Rightarrow\quad z'(x)&=\frac{1}{x+4};
\end{align}
evidentemente questa funzione, ristretta all'intervallo $[-2;2]$ ammetterà un minimo in $x=-2$ e un massimo in $x=2.$
Pertanto la funzione di due variabili $f(x,y)$ sul tratto di frontiera della retta $y=2$ avrà:
\begin{align}
M_4(2;2),\qquad m_4(-2;2).
\end{align}[/*:m:sfm1thp9][/list:u:sfm1thp9][/*:m:sfm1thp9][/list:u:sfm1thp9]
Concludendo la funzione ha due punti di massimo e due punti di minimo sulla frontiera:
\begin{align}
M_1(2;2) ,\qquad M_2(-2;-2),\qquad m_1(2;-2),\qquad m_2(-2;2).
\end{align}
Per stabilire quale sia il punto di massimo e di minimo assoltui calcoliamo i valori della $f$ nei punti trovati;
\begin{align}
f(M_1)&=f(M_2)=f(2;2)=f(-2;-2) =\ln(8+4)=\ln 12\\
f(m_1)&=f(m_2)=f(-2;2)=f(2;-2) =\ln(8-4)=\ln 4.
\end{align}
Si conclude che
\begin{align}
\max_{A}f=\ln 12,\qquad\min_{A}f= \ln 4.
\end{align}