Estremi vincolati - metodo parametrico
Abbiamo fatto un po' di esercizi in classe, ma ho un dubbio comune su tutti. Come trovare i punti e gli insiemi a cui applicarli.
Faccio un esempio per chiarezza
Ho una funzione $f(x,y) = x^2+y-1$, determinarne gli estremi vincolati alla frontiera del triangolo di vertici O, A(1,0), B(0,1)
Risolvendolo, abbiamo disegnato sto triangolo e poi:
$OA: \gamma(t) = (t,0)$, $tin[0,1]$
$f(OA) = h1(t)=f(t,0)=t^2-1$, $tin[0,1]$ è crescente -> t=0, min; t=1, max.
$OB: \gamma(t) = (0,t)$, $tin[0,1]$
$f(OB) = h2(t)=f(0,t)=t-1$, $tin[0,1]$ è crescente -> t=0, min; t=1, max.
$BA: \gamma(t) = (t,1-t)$, $tin[0,1]$
$f(BA) = h3(t)=f(t,1-t)=t^2+1-t-1 = t^2-t $
$h3'(t)=2t-1>=0 \Leftrightarrow t>=1/2;$ quindi $t=1/2$, min; $t=1$, $t=0$ max.
E poi la conclusione facendo f(A), f(B) ecc
Quello che non capisco sono come determinare l'argomento di $\gamma(t)$ e quale sia l'intervallo di $t$. Senza di quelle è inutile iniziare l'esercizio perchè non lo saprei fare...
Spero sia chiaro per voi questo esercizio xD
Faccio un esempio per chiarezza
Ho una funzione $f(x,y) = x^2+y-1$, determinarne gli estremi vincolati alla frontiera del triangolo di vertici O, A(1,0), B(0,1)
Risolvendolo, abbiamo disegnato sto triangolo e poi:
$OA: \gamma(t) = (t,0)$, $tin[0,1]$
$f(OA) = h1(t)=f(t,0)=t^2-1$, $tin[0,1]$ è crescente -> t=0, min; t=1, max.
$OB: \gamma(t) = (0,t)$, $tin[0,1]$
$f(OB) = h2(t)=f(0,t)=t-1$, $tin[0,1]$ è crescente -> t=0, min; t=1, max.
$BA: \gamma(t) = (t,1-t)$, $tin[0,1]$
$f(BA) = h3(t)=f(t,1-t)=t^2+1-t-1 = t^2-t $
$h3'(t)=2t-1>=0 \Leftrightarrow t>=1/2;$ quindi $t=1/2$, min; $t=1$, $t=0$ max.
E poi la conclusione facendo f(A), f(B) ecc
Quello che non capisco sono come determinare l'argomento di $\gamma(t)$ e quale sia l'intervallo di $t$. Senza di quelle è inutile iniziare l'esercizio perchè non lo saprei fare...
Spero sia chiaro per voi questo esercizio xD
Risposte
Più che luce, sembra un fiammifero...XD
In questo caso qual'è il dominio $T$?
Perchè non è necessario determinare i punti critici nella frontiera di $T$?
Se non ho capito male, devo parametrizzare i tre segmenti $OA$, $OB$, $BA$. Quindi, nel caso di OA (poi suppongo che gli altri siano analoghi):
$OA: (x, y) - (0,0) = ((1,0) - (0,0))t$ e quindi dovrebbe venire $(x,y) = (t,0)$? e questa dovrebbe essere la mia $\gamma(t)$?
Continuo a non capire però come determinare l'insieme $t$; tu dici che $t$ appartiene ai reali, ma nel mio caso siccome si tratta di una retta, t non dovrebbe appartenere a $O - A$?, ovvero $(0,0) - (1,0)$?
Poi per i massimi e minimi è come si è sempre fatto in analisi 1; derivata prima, risolvo la disequazione e trovo i due punti; oppure uso il 2 criterio per la classificazione dei punti critici: derivata prima, risolvo la disequazione trovando i punti critici, poi derivata seconda se i punti critici sono $>= 0$, allora il punto è di minimo. Analogamente per il massimo.
In questo caso qual'è il dominio $T$?
Perchè non è necessario determinare i punti critici nella frontiera di $T$?
Se non ho capito male, devo parametrizzare i tre segmenti $OA$, $OB$, $BA$. Quindi, nel caso di OA (poi suppongo che gli altri siano analoghi):
$OA: (x, y) - (0,0) = ((1,0) - (0,0))t$ e quindi dovrebbe venire $(x,y) = (t,0)$? e questa dovrebbe essere la mia $\gamma(t)$?
Continuo a non capire però come determinare l'insieme $t$; tu dici che $t$ appartiene ai reali, ma nel mio caso siccome si tratta di una retta, t non dovrebbe appartenere a $O - A$?, ovvero $(0,0) - (1,0)$?
Poi per i massimi e minimi è come si è sempre fatto in analisi 1; derivata prima, risolvo la disequazione e trovo i due punti; oppure uso il 2 criterio per la classificazione dei punti critici: derivata prima, risolvo la disequazione trovando i punti critici, poi derivata seconda se i punti critici sono $>= 0$, allora il punto è di minimo. Analogamente per il massimo.
Mmm oggi avevo il tutorato, e mi hanno spiegato che l'intervallo è quasi sempre lo stesso.
Per un cerchio è sempre $[0, 2pi]$, della retta o segmento è sempre $[0, 1]$. E' giusto?
Per un cerchio è sempre $[0, 2pi]$, della retta o segmento è sempre $[0, 1]$. E' giusto?
Ah ecco, infatti mi sembrava un po' strano; gli ho proprio chiesto se fosse una cosa standard.
A posto allora. Grazie mille per la disponibilità. Facendo poi esercizi probabilmente viene automatico.
A posto allora. Grazie mille per la disponibilità. Facendo poi esercizi probabilmente viene automatico.
Scusa, problema da scemo...Parametrizzare $BA$ devo usare sempre la stessa formula...
$(x,y) - (0,1) = ((1,0) - (0,1))t$ e quindi mi viene $(x,y-1) = (1,-1)t$ -->$(x,y-1) = (t,-t)$
Per togliere il -1 dalla y? Devo sommare +1 al -t? Ovvero $(x,y) = (t, 1-t)$?
$(x,y) - (0,1) = ((1,0) - (0,1))t$ e quindi mi viene $(x,y-1) = (1,-1)t$ -->$(x,y-1) = (t,-t)$
Per togliere il -1 dalla y? Devo sommare +1 al -t? Ovvero $(x,y) = (t, 1-t)$?
Ahhh lo si portava dall'altra parte! Vero!!
Grazie mille!
Grazie mille!
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