Estremi vincolati con lagrange
Salve,
ho un dubbio per il ritrovamento degli estremi vincolati .
Noi utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di lagrange e attraverso quello trovo dei punti.
Per il Teorema ( dei moltiplicatori) non è detto che tutti questi punti sono vincolati per la funzione , è solo una condizione necessaria, ma allora perchè quando li troviamo negli esercizi diamo per scontato che sono invece vincolati per f?
ho un dubbio per il ritrovamento degli estremi vincolati .
Noi utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di lagrange e attraverso quello trovo dei punti.
Per il Teorema ( dei moltiplicatori) non è detto che tutti questi punti sono vincolati per la funzione , è solo una condizione necessaria, ma allora perchè quando li troviamo negli esercizi diamo per scontato che sono invece vincolati per f?
Risposte
Se ho ben capito i tuoi dubbi, posso dire che i punti che soddisfano le equazioni ottenute con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, se sono estremi, sono estremi vincolati, ma non sono necessariamente estremi se prescindi dal vincolo. Tuttavia i punti che soddisfano tali equazioni non sono necessariamente estremi neanche vincolati, mentre se un punto è un estremo vincolato deve soddisfare tali equazioni (è una condizione necessaria). Una volta certi che un punto è soluzione del sistema di equazioni in questione (cioè che è un punto critico della lagrangiana) per sapere se è anche un estremo sul vincolo bisogna verificare, nel modo opportuno di volta in volta, il comportamento della funzione intorno a quel punto.
Spero di esserti stato di qualche aiuto...
Ciao!
Spero di esserti stato di qualche aiuto...
Ciao!
Credo di si praticamente dopoaver trovato gli ipotetici punti per vedere se sono quelli che cerco (quelli vincolati) , controllo se appartengono al vincolo e se di conseguenza sono vincolati
Sì, ma bisogna anche verificare se sono realmente estremi (il fatto che soddisfino le equazioni ottenute con il metodo dei moltiplicatori è solo una condizione necessaria, ma non basta a qualificarli come estremi). Sul vincolo di tipo \(g(x,y)=k\), che è un chiuso di $RR^n$, la funzione in esame $f$ assumerà massimo e minimo per il teorema di Weierstrass, quindi su quel vincolo il punto su cui $f$ assume il valore più grande è il massimo, quello su cui assume il valore più piccolo è il minimo (vincolati, naturalmente).
Se poi il vincolo che studi non fosse solo definito dai punti $(x,y)$ tali che \(g(x,y)=k\) (il tipo di vincolo su cui vale il teorema dei moltiplicatori di Lagrange), ma comprendesse anche dei punti interni (tipo per esempio \(g(x,y) \leq k\)), bisogna quindi verificare se i punti critici in cui $\nabla f=\vec 0$ nell'aperto (es.: i punti tali che \(g(x,y) < k\)) che è insieme dei punti interni del vincolo sono massimi, minimi o punti di sella, per esempio con il test della hessiana, se dà una risposta, o studiando in altro modo -qui direi che dipenda molto da caso a caso- il variare di $f$ intorno ai punti critici, e, se ci sono massimi o minimi nell'aperto, bisogna vedere se i valori lì assunti da $f$ sono a loro volta maggiori del massimo o minori del minimo assunti sul vincolo \(g(x,y)=k\), nel qual caso "scalzerebbero" gli estremi trovati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sul solo vincolo \(g(x,y)=k\).
Nel caso che ci fossero punti in cui $f$ o $g$ non sono di classe $C^1$ (che è posta come condizione al teorema dei moltiplicatori almeno nella dimostrazione che conosco io) guarderei se anche lì i valori che assume $f$ sono a loro volta maggiori del massimo o minori del minimo.
Ciao!
Se poi il vincolo che studi non fosse solo definito dai punti $(x,y)$ tali che \(g(x,y)=k\) (il tipo di vincolo su cui vale il teorema dei moltiplicatori di Lagrange), ma comprendesse anche dei punti interni (tipo per esempio \(g(x,y) \leq k\)), bisogna quindi verificare se i punti critici in cui $\nabla f=\vec 0$ nell'aperto (es.: i punti tali che \(g(x,y) < k\)) che è insieme dei punti interni del vincolo sono massimi, minimi o punti di sella, per esempio con il test della hessiana, se dà una risposta, o studiando in altro modo -qui direi che dipenda molto da caso a caso- il variare di $f$ intorno ai punti critici, e, se ci sono massimi o minimi nell'aperto, bisogna vedere se i valori lì assunti da $f$ sono a loro volta maggiori del massimo o minori del minimo assunti sul vincolo \(g(x,y)=k\), nel qual caso "scalzerebbero" gli estremi trovati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sul solo vincolo \(g(x,y)=k\).
Nel caso che ci fossero punti in cui $f$ o $g$ non sono di classe $C^1$ (che è posta come condizione al teorema dei moltiplicatori almeno nella dimostrazione che conosco io) guarderei se anche lì i valori che assume $f$ sono a loro volta maggiori del massimo o minori del minimo.
Ciao!
si ma per questo non credo ci sia problema perchè negli esercizi è richiesto il massimo e minimo assoluti quindi di conseguenza gli stazionari non estremi saranno "scartati" naturalmente..
"DavideGenova":
Sul vincolo di tipo \(g(x,y)=k\), che è un chiuso di $RR^n$, la funzione in esame $f$ assumerà massimo e minimo per il teorema di Weierstrass,
Non necessariamente, per quello occorre che il vincolo sia compatto. Per esempio il vincolo \(x=0\) in \(\mathbb{R}^2\) è chiuso ma non è compatto e difatti la funzione \(f(x, y)=y\) non assume su di esso né massimo né minimo. Di questo, volendo, potremmo accorgerci applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e notando che su questo vincolo non c'è neanche un punto critico per \(f\).
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