Estremi vincolati con l' utilizzo dei Moltiplicatori di Lagr
Buonasera a tutti voi 
Mi sto dedicando allo svolgimento di esercizi riguardanti la ricerca di massimi e minimi assoluti (con vincolo) mediante l' utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange;
Vorrei proporvi la risoluzione di un esercizio, per avere una conferma sulla correttezza dei passaggi che ho seguito
f(x,y) = x^6 + y^6 , sul vincolo g(x,y): x^2 + y^2 -1 = 0;
Derivate parziali:
fx=6x^5
fy=6y^5
gx=2x
gy=2y
Gradiente Nullo della funzione di Lagrange L(x,y,λ)
6x^5 - λ2x=0 [eq. 1]
6y^5 - λ2y=0 [eq. 2]
x^2 + y^2 -1 = 0 [eq. 3]
_Risoluzione del sistema 'gradiente nullo':
metto in evidenza 2x nell' equazione 1, ottenendo: 2x(6x^4-λ)
soluzioni: x=0 ; 6x^4-λ=0
Sostituisco la soluzione (x=0) nella eq.3, ottenendo:
y^2=1 => y=±1
Sostituisco tali soluzioni nella eq. 2, ottenendo, per entrambe
λ=12
Sostituisco tale valore, nel pezzo di equazione_1 rimasto in 'sospeso', ottenendo:
6x^4=12 => x=±*Radice-Quarta*(2)
In definitiva, i punti 'critici' ottenuti saranno
(0,-1)
(0,1)
(*Radice-Quarta*(2), 1)
(*Radice-Quarta*(2), -1)
(-*Radice-Quarta*(2), 1)
(-*Radice-Quarta*(2), -1)
Ho sbagliato qualcosa?
Non saprei, in generale i dubbi che ho, riguardano sempre la risoluzione di un sistema del genere...
Grazie anticipatamente!
Mi sto dedicando allo svolgimento di esercizi riguardanti la ricerca di massimi e minimi assoluti (con vincolo) mediante l' utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange;
Vorrei proporvi la risoluzione di un esercizio, per avere una conferma sulla correttezza dei passaggi che ho seguito
f(x,y) = x^6 + y^6 , sul vincolo g(x,y): x^2 + y^2 -1 = 0;
Derivate parziali:
fx=6x^5
fy=6y^5
gx=2x
gy=2y
Gradiente Nullo della funzione di Lagrange L(x,y,λ)
6x^5 - λ2x=0 [eq. 1]
6y^5 - λ2y=0 [eq. 2]
x^2 + y^2 -1 = 0 [eq. 3]
_Risoluzione del sistema 'gradiente nullo':
metto in evidenza 2x nell' equazione 1, ottenendo: 2x(6x^4-λ)
soluzioni: x=0 ; 6x^4-λ=0
Sostituisco la soluzione (x=0) nella eq.3, ottenendo:
y^2=1 => y=±1
Sostituisco tali soluzioni nella eq. 2, ottenendo, per entrambe
λ=12
Sostituisco tale valore, nel pezzo di equazione_1 rimasto in 'sospeso', ottenendo:
6x^4=12 => x=±*Radice-Quarta*(2)
In definitiva, i punti 'critici' ottenuti saranno
(0,-1)
(0,1)
(*Radice-Quarta*(2), 1)
(*Radice-Quarta*(2), -1)
(-*Radice-Quarta*(2), 1)
(-*Radice-Quarta*(2), -1)
Ho sbagliato qualcosa?
Non saprei, in generale i dubbi che ho, riguardano sempre la risoluzione di un sistema del genere... Grazie anticipatamente!
Risposte
Se metti in evidenza nella prima equazione diventa $2x(3x^4-\lambda)=0$, e da qui...
Giusto, è stato un errore di distrazione... Grazie =)
Per il resto, il pocedimento è pressochè corretto, giusto? =)
Per il resto, il pocedimento è pressochè corretto, giusto? =)
Vediamo un po': il sistema è dato dalle tre equazioni
$2x(3x^4-\lambda)=0,\qquad 2y(3y^4-\lambda)=0,\qquad x^2+y^2-1=0$
Se $x=0$ dalla terza $y=\pm 1$ e dalla seconda $\lambda=3$
Se invece $3x^4-\lambda=0$ allora $\lambda=3x^4$ che sostituito nella seconda conduce a $2y(3y^4-3x^4)=0$. Ora quest'ultima si può scrivere come $6y(y^2-x^2)(y^2+x^2)=0$ e pertanto:
$a)$ se $y=0$ allora dalla terza $x=\pm 1$ e $\lambda=3$;
$b)$ se $y^2-x^2=0$ allora $y=\pm x$ e sostituendo nella terza si ha $2x^2=1$ da cui $x=\pm{\sqrt{2}}/2$ e anche $\lambda=3/4$;
$c)$ se $y^2+x^2=0$ allora deve essere $x=0$ e $y=0$ ma questi non sono punti della circonferenza (il vincolo) e vanno scartati).
In definitiva si hanno i punti critici (con relativo valore di lambda)
$(0,\pm 1)$ e $3$
$(\pm 1,0)$ e $3$
$(\pm{\sqrt{2}}/2,\pm{\sqrt{2}}/2)$ e $3/4$
$(\pm{\sqrt{2}}/2,\mp{\sqrt{2}}/2)$ e $3/4$
Ora tra questi bisogna capire quali sono massimi e quali minimi: come fai?
$2x(3x^4-\lambda)=0,\qquad 2y(3y^4-\lambda)=0,\qquad x^2+y^2-1=0$
Se $x=0$ dalla terza $y=\pm 1$ e dalla seconda $\lambda=3$
Se invece $3x^4-\lambda=0$ allora $\lambda=3x^4$ che sostituito nella seconda conduce a $2y(3y^4-3x^4)=0$. Ora quest'ultima si può scrivere come $6y(y^2-x^2)(y^2+x^2)=0$ e pertanto:
$a)$ se $y=0$ allora dalla terza $x=\pm 1$ e $\lambda=3$;
$b)$ se $y^2-x^2=0$ allora $y=\pm x$ e sostituendo nella terza si ha $2x^2=1$ da cui $x=\pm{\sqrt{2}}/2$ e anche $\lambda=3/4$;
$c)$ se $y^2+x^2=0$ allora deve essere $x=0$ e $y=0$ ma questi non sono punti della circonferenza (il vincolo) e vanno scartati).
In definitiva si hanno i punti critici (con relativo valore di lambda)
$(0,\pm 1)$ e $3$
$(\pm 1,0)$ e $3$
$(\pm{\sqrt{2}}/2,\pm{\sqrt{2}}/2)$ e $3/4$
$(\pm{\sqrt{2}}/2,\mp{\sqrt{2}}/2)$ e $3/4$
Ora tra questi bisogna capire quali sono massimi e quali minimi: come fai?
Ti ringrazio;
Per determinare quali sono il minimo ed il massimo assoluto, verifico le immagini corrispondenti della funzione f(x,y);
Per il massimo valore, il punto corrispondente sarà di Massimo Relativo;
Discorso analogo (al contrario) per il Minimo Relativo;
=)
Per determinare quali sono il minimo ed il massimo assoluto, verifico le immagini corrispondenti della funzione f(x,y);
Per il massimo valore, il punto corrispondente sarà di Massimo Relativo;
Discorso analogo (al contrario) per il Minimo Relativo;
=)
E questo va bene se ci fossero solo massimi e minimi assoluti. Ma mettiamo il caso (non so se qui accade ma potrebbe anche essere) che ce ne siano di relativi: come ti comporteresti?
In questo caso, basta stilare la Matrice Hessiana, sostituirvi le coordinate del punto critico considerato e distinguere i vari casi:
<0 => il punto è di sella;
>0 => valuto il valore nella componente [1;1] della matrice Hessiana, ossia (fxx) ~ Derivata mista;
::::: Valore <0 => Punto di Massimo Relativo ; Valore>0 => Punto di Minimo Relativo;
Matrice Hessiana Nulla -> Applico il Metodo del Segno
Correggimi se sbaglio =)
<0 => il punto è di sella;
>0 => valuto il valore nella componente [1;1] della matrice Hessiana, ossia (fxx) ~ Derivata mista;
::::: Valore <0 => Punto di Massimo Relativo ; Valore>0 => Punto di Minimo Relativo;
Matrice Hessiana Nulla -> Applico il Metodo del Segno
Correggimi se sbaglio =)
Stiamo parlando di estremi vincolati: non ha senso calcolare la matrice Hessiana!
Non ho interpretato bene la domanda allora... XD
Al corso abbiam fatto, per quanto riguarda le funzioni vincolate, solamente lo studio di massimi e minimi Assoluti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange... =)
Al corso abbiam fatto, per quanto riguarda le funzioni vincolate, solamente lo studio di massimi e minimi Assoluti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange... =)
Bé, quando devi ricercare massimi e minimi vincolati un metodo utile è quello di riscrivere la funzione in base al vincolo. Ad esempio in questo caso, essendo su una circonferenza, puoi parametrizzare con $x=\cos t,\ y=\sin t$ e quindi la funzione diventa
$g(t)=\cos^6 t+\sin^6 t$
Ora, studiano tale funzione si ha
$g'(t)=-6\sin t\ \cos^5 t+6\cos t\ \sin^5 t=6\sin t\ \cos t\ (\sin^4 t-\cos^4 t)=6\sin t\ \cos t\ (\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)$
da cui
$g'(t)=-3\sin(2t)\ \cos(2t)$
Studiandola come una funzione di una variabile reale, ti accorgi che (almeno in questo caso) la funzione ammette minimi assoluti in tutti i punti della forma $t=\pi/4+k \pi/2$ (e tali minimi valgono $1/4$) e massimi assoluti nei punti della forma $t=k \pi/2$ (e tali massimi valgono tutti $1$). Inoltre le coordinate dei punti $(x,y)$ si ottengono sostituendo i valori di $t$ (e puoi verificare facilmente che restituiscono tutti i punti calcolati precedentemente).
$g(t)=\cos^6 t+\sin^6 t$
Ora, studiano tale funzione si ha
$g'(t)=-6\sin t\ \cos^5 t+6\cos t\ \sin^5 t=6\sin t\ \cos t\ (\sin^4 t-\cos^4 t)=6\sin t\ \cos t\ (\sin^2 t-\cos^2 t)(\sin^2 t+\cos^2 t)$
da cui
$g'(t)=-3\sin(2t)\ \cos(2t)$
Studiandola come una funzione di una variabile reale, ti accorgi che (almeno in questo caso) la funzione ammette minimi assoluti in tutti i punti della forma $t=\pi/4+k \pi/2$ (e tali minimi valgono $1/4$) e massimi assoluti nei punti della forma $t=k \pi/2$ (e tali massimi valgono tutti $1$). Inoltre le coordinate dei punti $(x,y)$ si ottengono sostituendo i valori di $t$ (e puoi verificare facilmente che restituiscono tutti i punti calcolati precedentemente).
Ti ringrazio =)
Il metodo che mi hai appena illustrato, è noto come... ? Grazie ancora
Il metodo che mi hai appena illustrato, è noto come... ? Grazie ancora
Parametrizzazione lungo una curva? Sinceramente non so se ha un nome preciso.
Capito... Grazie ancora =)
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