Estremi vincolati

[miriam9595]

Si stabilisca, motivando, se la funzione
f(x,y) = x + 2y
(a) sia dotata di estremi assoluti nell’insieme C = {(x,y) ∈ IR^2 : x^2 −xy + y^2 −1 = 0}
(b) in caso affermativo si calcolino tali etremi.

Ho iniziato scrivendo la lagrangiana
L(x,y)=x+2y- $ lambda $ ( $ x^2-xy+y^2-1 $ )

I punti non regolari del vincolo ovvero quelli in cui il gradiente di g si annulla sono x=y=0
Scrivo il sistema delle derivate
$ { ( 1-2lambdax -lamday=0 ),( 2+2lambday - lambdax=0 ),( -x^2-xy+y^2-1=0 ):} $
Ma non sono riuscita a risolverlo e sono rimasta bloccata. Ho provato a moltiplicare la prima per y e la seconda per x e sottrarre ma non ne vengo fuori e non posso continuare.
Grazie.

[Lele0012]

"miriam9595":
$ { ( 1-2lambdax -lamday=0 ),( 2+2lambday - lambdax=0 ),( -x^2-xy+y^2-1=0 ):} $

Mi sembra tu abbia fatto alcuni piccoli errori di segno;
Se poni la tua funzione di Lagrange pari a:
$L=x+2y-\lambda(x^2-xy+y^2-1)$
Allora, derivando rispetto ad $x$, $y$ e $\lambda$ e annullando le derivate, il sistema diventerà:
$ { ( 1-2lambdax +lamday=0 ),( 2-2lambday + lambdax=0 ),(x^2-xy+y^2-1=0 ):} $
Mi sbaglio?

[miriam9595]

no scusa ho sbagliato nel trascriverlo! Grazie!
Come mi consigli di procedere per la risoluzione?

[Lele0012]

Io ho proceduto in questo modo: ho isolato, nella prima equazione, $\lambday$,
$\lambday=2\lambdax-1$
Per sostituirlo nella seconda equazione, in modo da ottenere un'espressione dove compare solo il termine $\lambdax$; prova da qui e vedi se riesci a risolverla

[gugo82]

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