Estremi vincolati

[gbspeedy]

ho la funzione $f(x,y)=e^(x/y) (x^2-y^2)$ su $E={0=x,y>=-x/3}$
ho trovato che non ha punti stazionari interni ad E,si annulla sulla bisettrice per $x in (0,1]$,la sua restrizione alla frontiera ha punti di massimo in $(-1-sqrt(2),1),(-3,1)$ e un minimo in $(-1+sqrt(2),1)$
E non è compatto (è escluso (0,0)) quindi non posso applicare Weierstrass.Come faccio a stabilire gli estremi assoluti?

[Lorin1]

Se hai trovato tutti i punti sia interni che esterni basta che ti calcoli le relative immagini e vedi chi ha quota maggiore e chi ha quota minore...

[gbspeedy]

posso dire $e^(x/y) |x^2-y^2|<=e|x^2-y^2|<=er^2|cos2theta|<=er^2|$che $->0$ per $r->0+$

[gbspeedy]

"TeM":[quote="gbspeedy"]posso dire $e^(x/y) |x^2-y^2|<=e|x^2-y^2|<=er^2|cos2theta|<=er^2|$che $->0$ per $r->0+$

eh ma sì ... la parta più "interessante" me la cestini ?
Comunque sia, a parte gli scherzi, non puoi assolutamente trascurare l'esponente !
Ti dico che sei sulla strada giusta, perlomeno quella che ho in mente io, ovvero è corretto passare in coordinate polari ma senza trascuare alcun pezzetto e ragionando sul parametro angolare, facendo riferimento al dominio su cui stai cercando i massimi e minimi vincolati di \(f \).[/quote]

quindi dovrei considerare $e^(x/y) |x^2-y^2|=e^(cottheta) r^2 |cos2theta|$?

[gbspeedy]

"TeM":[quote="gbspeedy"]quindi dovrei considerare $e^(x/y) |x^2-y^2|=e^(cottheta) r^2 |cos2theta|$?

sostanzialmente sì [/quote]

$theta$ varia tra $pi/4$ e $pi$?

[gbspeedy]

"TeM":[quote="gbspeedy"]$theta$ varia tra $pi/4$ e $pi$?

non capisco da dove salti fuori \(\pi\) ... osserva bene il dominio ... e una volta determinato il range in cui varia \(\theta\) prova a trarre una conclusione sul precedente limite [/quote]

varia tra $pi/4$ e $pi-arctg(-1/3)$

[gbspeedy]

$e^cottheta$ è limitata (compresa tra $e^sqrt(2),e^3$),$|cos2theta|<=1$ quindi il limite converge a $0$ e potrei definire
una nuova funzione $ g(x,y)={ ( f(x,y) x in E ),( 0 (x,y)=(0,0)):} $ che è continua sul compatto e applicare weierstrass?

[gbspeedy]

se invece ho $f(x,y)=sqrt(y-x)(log(xy)-2)$ in $E={x<=y<=x,0 f è continua su E
non ho punti stazionari interni ad E
sulla frontiera ho un massimo in $(3,6)$ , un minimo in $(1/(esqrt(2)),2/(esqrt(2)))$ e si annulla sulla bisettrice
se studio l'origine in coordinate polari $pi/4

Cita

Segnala

[gbspeedy]

"TeM":[quote="gbspeedy"]... $x<=y<=x$ ...

?[/quote]
$x<=y<=2x$

[gbspeedy]

quindi $pi/4<=theta<=arctg2$?

avrei $f(rcostheta,rsintheta)=sqrt(r(sintheta-costheta))(log(r^2 sinthetacostheta)-2)$
$|f(rcostheta,rsintheta)|<=C sqrt(r)log(r^2/2 )$ C costante positiva che converge a zero