Estremi relativi funzione di 2 variabili
Ragazzi ho da fare un esercizio che non so nemmeno inizare 
Mi aiutate per favore?
Come si fa? Riesco solo a trovare l'insieme di definizione che risulta essere:
$ ID : { (x,y)in RR^2 | x^2 + y^2 > 0 } $
Per verificare la prolungabilità, bisogna verificare che esiste finito il limite:
$ lim_(x,y->0,0) f(x,y) $
Ma come si calcola il limite?
Per i punti di massimo e minimo relativo, se faccio le derivate parziali, esce un risultato abbastanza strano...
HELP!
Mi aiutate per favore?Data la funzione: $ f(x,y) = x^3log(x^2 + y^2) $ dire se è prolungabile con continuità e determinare gli eventuali estremi relativi.
Come si fa? Riesco solo a trovare l'insieme di definizione che risulta essere:
$ ID : { (x,y)in RR^2 | x^2 + y^2 > 0 } $
Per verificare la prolungabilità, bisogna verificare che esiste finito il limite:
$ lim_(x,y->0,0) f(x,y) $
Ma come si calcola il limite?
Per i punti di massimo e minimo relativo, se faccio le derivate parziali, esce un risultato abbastanza strano...
HELP!
Risposte
Ciao
Intanto si dice "funzione di due variabili", non ti fare sentire da Gugo che ti sgrida;
poi guarda, si vede che la funzione è prolungabile per continuità in $0$ facilmente se passi in coordinate polari.
Intanto si dice "funzione di due variabili", non ti fare sentire da Gugo che ti sgrida;
poi guarda, si vede che la funzione è prolungabile per continuità in $0$ facilmente se passi in coordinate polari.
@dissonance:
Ma, più che altro, mi domando cosa ci sia sotto questo errore che, ultimamente, sembra "andare di moda": se è solo sciatteria nello scrivere o proprio ignoranza della grammatica (ma alle scuole medie si studia ancora l'analisi logica???).
Faccio un esempio, così da chiarire: scrivere e/o dire "funzione a due variabili" o "funzione in due variabili" al posto di "funzione di due variabili" è un po' come scrivere e/o dire "il post a Gugo" o "il post in Gugo" invece che "il post di Gugo"... C'è una bella differenza, no?
"dissonance":
Intanto si dice "funzione di due variabili", non ti fare sentire da Gugo che ti sgrida
Ma, più che altro, mi domando cosa ci sia sotto questo errore che, ultimamente, sembra "andare di moda": se è solo sciatteria nello scrivere o proprio ignoranza della grammatica (ma alle scuole medie si studia ancora l'analisi logica???).
Faccio un esempio, così da chiarire: scrivere e/o dire "funzione a due variabili" o "funzione in due variabili" al posto di "funzione di due variabili" è un po' come scrivere e/o dire "il post a Gugo" o "il post in Gugo" invece che "il post di Gugo"... C'è una bella differenza, no?
Scusatemi ragazzi, ho corretto! E' stata una mia dimenticanza. 
Come si effettua con precisione il limite con le coordinate polari? E per i punti stazionari?
Per favore aiutatemi perchè domani mattina ho gia l'esame!
Grazie.
Come si effettua con precisione il limite con le coordinate polari? E per i punti stazionari?
Per favore aiutatemi perchè domani mattina ho gia l'esame!
Grazie.
È come in una variabile, se poni $x = r* cos alpha$, $y=r*senalpha$ ottieni che per $(x,y)->(0,0) $ si ha $r->0$
A questo punto sostituisci. Se il limite viene indipendente dall'angolo significa che la funzione ovunque la guardi tende a zero allo stesso modo, allora è possibile prolungarla.
A questo punto sostituisci. Se il limite viene indipendente dall'angolo significa che la funzione ovunque la guardi tende a zero allo stesso modo, allora è possibile prolungarla.
Grazie mille, ho capito! 
Per quanto riguarda i punti stazionari, e quindi, i punti di massimo e minimo relativi? Come procedo?
Faccio le derivate parziali per calcolare i punti stazionari, e quindi mi risulta:
$ fx(x,y) = 3x^2 + (2x^4) / (x^2 + y^2) $
$ fy(x,y) = (2x^3y) / (x^2 + y^2) $
Per calcolare i punti stazionari risolvo il sistema:
$ { ( 3x^2 + (2x^4) / (x^2 + y^2) = 0 ),( (2x^3y) / (x^2 + y^2) = 0 ):} $
Come lo risolvo? Non riesco ad andare avanti...
Per quanto riguarda i punti stazionari, e quindi, i punti di massimo e minimo relativi? Come procedo?
Faccio le derivate parziali per calcolare i punti stazionari, e quindi mi risulta:
$ fx(x,y) = 3x^2 + (2x^4) / (x^2 + y^2) $
$ fy(x,y) = (2x^3y) / (x^2 + y^2) $
Per calcolare i punti stazionari risolvo il sistema:
$ { ( 3x^2 + (2x^4) / (x^2 + y^2) = 0 ),( (2x^3y) / (x^2 + y^2) = 0 ):} $
Come lo risolvo? Non riesco ad andare avanti...
Questa è roba da scuola superiore però, Hawk. La seconda equazione, ricordando che è implicitamente escluso il punto $(x, y)=(0, 0)$, è equivalente a $x^3y=0$. Puoi quindi spezzare il sistema:
${(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (\frac{2x^3y}{x^2+y^2}=0):}$ è equivalente a
$"I:" {(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (x=0):}\quad "oppure"\quad "II:"{(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (y=0):}$
e se non vado errato l'insieme delle soluzioni è
${(x, y)\ |\ x=0}$, ovvero l'asse delle $y$.
${(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (\frac{2x^3y}{x^2+y^2}=0):}$ è equivalente a
$"I:" {(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (x=0):}\quad "oppure"\quad "II:"{(3x^2+\frac{2x^4}{x^2+y^2}=0), (y=0):}$
e se non vado errato l'insieme delle soluzioni è
${(x, y)\ |\ x=0}$, ovvero l'asse delle $y$.
Ok, l'unico punto stazionario quindi è rappresentato da:
$ A (0,y) $
Non serve quindi calcolare l'hessiano e le derivate seconde, ma bisogna studiare il segno di:
$ f(x,y) - f(0,y) > 0 $
Quindi ho:
$ x^3log(x^2 + y^2) > 0 $
Che ha come soluzione:
$ x > 0; x^2 + y^2 > 1 $
Come proseguo?
$ A (0,y) $
Non serve quindi calcolare l'hessiano e le derivate seconde, ma bisogna studiare il segno di:
$ f(x,y) - f(0,y) > 0 $
Quindi ho:
$ x^3log(x^2 + y^2) > 0 $
Che ha come soluzione:
$ x > 0; x^2 + y^2 > 1 $
Come proseguo?
Anche io in questo periodo sto studiando questo argomento. Topic interessante.
Scusate se mi intrometto, forse dovrei rivedere meglio la teoria. Le mie domande sono: Perchè, una volta trovato l'insieme dei punti stazionari, non serve quindi calcolare la matrice Hessiana? Se lo studio del segno fosse difficoltoso, non potremmo trovarci la matrice e studiarne gli autovalori?
Scusate se mi intrometto, forse dovrei rivedere meglio la teoria. Le mie domande sono: Perchè, una volta trovato l'insieme dei punti stazionari, non serve quindi calcolare la matrice Hessiana? Se lo studio del segno fosse difficoltoso, non potremmo trovarci la matrice e studiarne gli autovalori?
Non si studia la matrice hessiana perchè abbiamo trovato un continuo di valori, e cioè il punto $ A(0,y) $ rappresenta un continuo di valori al variare di $ y $; in questo caso, quindi, si passa subito allo studio del segno.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
Devi studiare il segno di
$x^3 log(x^2+y^2 ) $ nell'intorno dei punti dell'asse $y $ che sono i punti critici .
$ x^3 > 0 $ per $ x> 0 ; x^3 < 0 $ per $ x< 0 $.
$log(x^2+y^2) > 0 $ per $x^2+y^2 > 1 $; $log(x^2+y^2) <0 $ per $ 0
Dividi l'asse $y $ in 3 intervalli : $ (-oo, -1) ; (-1, +1 ) ;(1,+oo) $ e vedi cosa succede in ogni intervallo al segno della funzione in un intorno dell'asse stesso , cioè quando si passa da $ x $ negativo a $ x $ positivo...
$x^3 log(x^2+y^2 ) $ nell'intorno dei punti dell'asse $y $ che sono i punti critici .
$ x^3 > 0 $ per $ x> 0 ; x^3 < 0 $ per $ x< 0 $.
$log(x^2+y^2) > 0 $ per $x^2+y^2 > 1 $; $log(x^2+y^2) <0 $ per $ 0
Dividi l'asse $y $ in 3 intervalli : $ (-oo, -1) ; (-1, +1 ) ;(1,+oo) $ e vedi cosa succede in ogni intervallo al segno della funzione in un intorno dell'asse stesso , cioè quando si passa da $ x $ negativo a $ x $ positivo...
Vedi questo post di Camillo in cui si parla della tecnica che stai usando tu:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#399578
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#399578
scusate se riesumo il post ma mi sono ritrovato davanti allo stesso esercizio.
Per prima cosa non dovrebbe essere $fx(x,y) = 3x^2log(x^2+y^2) + (2x^4)/(x^2+y^2)$? così facendo oltre all'asse y ci sono i due punti stazionari $(e^{-1/3} ,0)$ e $(-e^{-1/3},0)$.
Adesso mi chiedo... per quanto riguarda questi due punti devo calcolare la matrice hessiana? spero proprio di no perchè i calcoli sono veramente laboriosi
Per prima cosa non dovrebbe essere $fx(x,y) = 3x^2log(x^2+y^2) + (2x^4)/(x^2+y^2)$? così facendo oltre all'asse y ci sono i due punti stazionari $(e^{-1/3} ,0)$ e $(-e^{-1/3},0)$.
Adesso mi chiedo... per quanto riguarda questi due punti devo calcolare la matrice hessiana? spero proprio di no perchè i calcoli sono veramente laboriosi
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