Estremi relativi e assoluti funzione due variabili.
ciao a tutti,
ho una funzione del genere: $f(x,y)=3+log(x^2+y^2-2x+2)$
mi si chiede d'apprima di trovare gli estremi relativi e assoluti.
Se non ho fatto errori lavorando con le derivate parziali e con la matrice Hessiana trovo il punto $(1,0)$ che è un punto di sella.
Adesso il mio primo problema è come trovo gli estremi assoluti se non mi viene data una restrizione?
successivamente mi si chiede di trovare gli estremi assoluti nella restrizione $x^2+y^2<=1$
Utilizzando la funzione lagrangiana, poste =0 le derivate parziali, non riesco a trovarmi i punti stazionari.
volevo sapere se il metodo era sbaglio(oppure ho sbagliato qualcos'altro) oppure devo risolvere in questo modo.
grazie
ho una funzione del genere: $f(x,y)=3+log(x^2+y^2-2x+2)$
mi si chiede d'apprima di trovare gli estremi relativi e assoluti.
Se non ho fatto errori lavorando con le derivate parziali e con la matrice Hessiana trovo il punto $(1,0)$ che è un punto di sella.
Adesso il mio primo problema è come trovo gli estremi assoluti se non mi viene data una restrizione?
successivamente mi si chiede di trovare gli estremi assoluti nella restrizione $x^2+y^2<=1$
Utilizzando la funzione lagrangiana, poste =0 le derivate parziali, non riesco a trovarmi i punti stazionari.
volevo sapere se il metodo era sbaglio(oppure ho sbagliato qualcos'altro) oppure devo risolvere in questo modo.
grazie
Risposte
Gli estremi assoluti non è detto che esistano. Ma se la funzione è limitata su tutto il suo dominio, potrebbero esistere (almeno esisterebbero finiti estremo superiore e estremo inferiore; se poi il dominio è compatto e la funzione è continua,...).
Per quanto riguarda il secondo punto, i punti interni al cerchio, li studi come al solito, la lagrangiana la puoi usare quando vai a studiare la restrizione sulla frontiera cioè $x^2+y^2=1$. Confrontando i valori ottenuti, decidi quali sono massimo e minimo su tutto il cerchio (frontiera compresa).
Prova a postare il sistema che hai fatto per i massimi/minimi vincolati.
Per quanto riguarda il secondo punto, i punti interni al cerchio, li studi come al solito, la lagrangiana la puoi usare quando vai a studiare la restrizione sulla frontiera cioè $x^2+y^2=1$. Confrontando i valori ottenuti, decidi quali sono massimo e minimo su tutto il cerchio (frontiera compresa).
Prova a postare il sistema che hai fatto per i massimi/minimi vincolati.
allora, partendo dal primo punto ho questo sistema:
$(2x-2)/(x^2+y^2-2x+2)=0$
$(2y)/(x^2+y^2-2x+2)=0$
e trovo il punto $(1,0)$ che è un punto di sella.Adesso se avevo degli estremi relativi non dovevano comparire facendo la derivata parziale?
per il secondo punto ho questo sistema:
$L=3+log(x^2+y^2-2x+2)-\lambda(x^2+y^2-1)$
$(2x-2)/(x^2+y^2-2x+2)-2x\lambda=0$
$(2y)/(x^2+y^2-2x+2)-2y\lambda=0$
$x^2+y^2-1=0$
è giusto?
thanks
$(2x-2)/(x^2+y^2-2x+2)=0$
$(2y)/(x^2+y^2-2x+2)=0$
e trovo il punto $(1,0)$ che è un punto di sella.Adesso se avevo degli estremi relativi non dovevano comparire facendo la derivata parziale?
per il secondo punto ho questo sistema:
$L=3+log(x^2+y^2-2x+2)-\lambda(x^2+y^2-1)$
$(2x-2)/(x^2+y^2-2x+2)-2x\lambda=0$
$(2y)/(x^2+y^2-2x+2)-2y\lambda=0$
$x^2+y^2-1=0$
è giusto?
thanks
Hai controllato che il punto sia di sella? Se è così, hai un punto stazionario che non è un estremo relativo. Non devono esserci per forza massimi e minimi relativi.
Per il secondo punto hai impostato bene il sistema, ma credo che, in questo caso, tu faccia prima a studiare direttamente la restrizione della funzione sulla circonferenza parametrizzata, senza usare i moltiplicatori di Lagrange.
Per il secondo punto hai impostato bene il sistema, ma credo che, in questo caso, tu faccia prima a studiare direttamente la restrizione della funzione sulla circonferenza parametrizzata, senza usare i moltiplicatori di Lagrange.
grazie antimius intanto..
si ho controllato tramite la matrice hessiana ed il punto $(1,0)$ è di sella poichè $|H|<0$
visto che appunto non è estremo relativo/assoluto allora posso concludere che non ce ne sono in questo caso.
per il secondo punto il problema è che diversamente dai moltiplicatori di Lagrange non conosco metodo per trovarmi gli estremi assoluti(purtroppo sto studiando analisi 2 da solo -.- ).
Saresti così gentile come procedere studiando la restrizione della funzione sulla circonferenza parametrizzata?
grazieee
si ho controllato tramite la matrice hessiana ed il punto $(1,0)$ è di sella poichè $|H|<0$
visto che appunto non è estremo relativo/assoluto allora posso concludere che non ce ne sono in questo caso.
per il secondo punto il problema è che diversamente dai moltiplicatori di Lagrange non conosco metodo per trovarmi gli estremi assoluti(purtroppo sto studiando analisi 2 da solo -.- ).
Saresti così gentile come procedere studiando la restrizione della funzione sulla circonferenza parametrizzata?
grazieee
Non è nulla di complicato. Spesso in pratica non si può fare perché la varietà su cui vincoli la funzione non è data tramite una parametrizzazione o perché vengono calcoli troppo complicati.
In questo caso però hai una circonferenza, la cui parametrizzazione (chiamiamola [tex]$\phi$[/tex]) è semplice e immagino che tu la conosca.
Allora, si tratta di studiare il massimo e il minimo della restrizione di [tex]$f$[/tex] alla circonferenza, cioè della funzione [tex]$F(t)=f(\phi(t))$[/tex].
Comunque sia sul Fusco-Marcellini-Sbordone sia sul Giusti c'è una sezione che riguarda massimi e minimi vincolati. Ti è utile anche a capire da dove escono fuori i moltiplicatori di Lagrange.
In questo caso però hai una circonferenza, la cui parametrizzazione (chiamiamola [tex]$\phi$[/tex]) è semplice e immagino che tu la conosca.
Allora, si tratta di studiare il massimo e il minimo della restrizione di [tex]$f$[/tex] alla circonferenza, cioè della funzione [tex]$F(t)=f(\phi(t))$[/tex].
Comunque sia sul Fusco-Marcellini-Sbordone sia sul Giusti c'è una sezione che riguarda massimi e minimi vincolati. Ti è utile anche a capire da dove escono fuori i moltiplicatori di Lagrange.
allora l'equazione parametrica di una circonferenza è :
$x=x_0+r cos(t)$
$y=y_0+r sen(t)$
per $t$ compreso tra $[0,2pi]$
adesso utilizzo sempre i moltiplicatori di lagrange solo che al posto di $x^2+y^2-1$ devo mettere l'equazione parametrizzata?
non mi è chiaro questo passaggio..sul libro che ho del mio prof non cè un minimo di esempio..
$x=x_0+r cos(t)$
$y=y_0+r sen(t)$
per $t$ compreso tra $[0,2pi]$
adesso utilizzo sempre i moltiplicatori di lagrange solo che al posto di $x^2+y^2-1$ devo mettere l'equazione parametrizzata?
non mi è chiaro questo passaggio..sul libro che ho del mio prof non cè un minimo di esempio..
Nel tuo caso [tex]$\phi(t)=(x(t),y(t))=(\cos t, \sin t)$[/tex]. Si tratta di studiare il massimo e il minimo della funzione a una variabile [tex]$F(t)=f(\phi(t))=f(\cos t, \sin t), t \in [0,2\pi]$[/tex].
Prova a concludere da qui.
Forse ora ti è più chiaro quel che ho fatto.
Prova a concludere da qui.
Forse ora ti è più chiaro quel che ho fatto.
quindi se ho capito bene vado a studiare max e min della funzione:
$F(t)=3+log(cos^2t+sen^2t-2cost+2)$
opppure ho capito ancora una volta male
grazie dell'aiuto
$F(t)=3+log(cos^2t+sen^2t-2cost+2)$
opppure ho capito ancora una volta male
grazie dell'aiuto
Hai capito bene! 
P.s.: ricorda che [tex]$\sin^2 t+\cos^2 t = 1$[/tex].
P.s.: ricorda che [tex]$\sin^2 t+\cos^2 t = 1$[/tex].
perfetto.Ho calcolato i punti di max e minimo della funzione tramite derivata prima:
$F'(t)=(2sen(t))/(3-2cos(t))>0$ --> per $0<=t<=pi$
quindi ho trovato il $min$ $(0,3)$ ed il $max$ $(pi,3+log5)$
questi quindi alla fine sono gli estremi assoluti?
$F'(t)=(2sen(t))/(3-2cos(t))>0$ --> per $0<=t<=pi$
quindi ho trovato il $min$ $(0,3)$ ed il $max$ $(pi,3+log5)$
questi quindi alla fine sono gli estremi assoluti?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo