Estremi relativi di una funzione f(x,y)
Devo determinare gli estremi relativi della funzione:
$f(x,y)=(x^{3}-x^{4})\log y$
La prima cosa che ho fatto è determinare il dominio: D={(x,y), y>0}.
Poi ho determinato i punti critici della funzione:
$f_{x}=\log y(3x^{2}-4x^{3})=0$
$f_{y}=\frac{x^{3}-x^{4}}{y}=0$
La mia prima incertezza è comparsa qui .... cioè risolvendo il sistema ho concluso che i punti critici della funzione sono (x,1) per ogni x reale e (0,y) per ogni y>0.
Ragà non sò se sto procedendo bene .....che sapete dirmi a riguardo?
$f(x,y)=(x^{3}-x^{4})\log y$
La prima cosa che ho fatto è determinare il dominio: D={(x,y), y>0}.
Poi ho determinato i punti critici della funzione:
$f_{x}=\log y(3x^{2}-4x^{3})=0$
$f_{y}=\frac{x^{3}-x^{4}}{y}=0$
La mia prima incertezza è comparsa qui .... cioè risolvendo il sistema ho concluso che i punti critici della funzione sono (x,1) per ogni x reale e (0,y) per ogni y>0.
Ragà non sò se sto procedendo bene .....che sapete dirmi a riguardo?
Risposte
Qualcosa non va in effetti.
Hai [tex]$f_x=x^2(3-4x) \log y=0$[/tex] e [tex]$f_y=x^3\frac{1-x}{y}=0$[/tex]
Quindi se $y=1$ si annulla la prima, e la seconda si annulla contemporaneamente se $x=0$ o $x=1$.
Quindi hai $(0,1)$, $(1,1)$ e tutti i punti del tipo $(0,k)$ con $k$ positivo.
Hai [tex]$f_x=x^2(3-4x) \log y=0$[/tex] e [tex]$f_y=x^3\frac{1-x}{y}=0$[/tex]
Quindi se $y=1$ si annulla la prima, e la seconda si annulla contemporaneamente se $x=0$ o $x=1$.
Quindi hai $(0,1)$, $(1,1)$ e tutti i punti del tipo $(0,k)$ con $k$ positivo.
Quando vado a stabilire la natura del punto critico (0,1) ottengo che la matrice hessiana ha determinante 0 e inoltre risultano $f_{xx}=0$, $f_{yy}=0$.
Posso concludere che la matrice hessiana non è semidefinita positiva e ne negativa e quindi che il punto critico è un punto di sella?
Posso concludere che la matrice hessiana non è semidefinita positiva e ne negativa e quindi che il punto critico è un punto di sella?
ripetendo un pò di teoria ho capito che nella condizione in cui il determinante dell'hessiana è nullo e se $f_{xx}=0$ e $f_{yy}=0$ allora la matrice hessiana non dà alcuna informazione utile quindi devo procedere per altra via.
Quindi ho studiato il valore del limite della funzione nelle restrizioni y=e^(x) e y=e^(-x) ottenendo che in un caso la funzione tende a zero da destra e nell'altro a zero da sinistra quindi ho concluso che il punto critico è un punto di sella poichè la funzione combia di segno in un suo intorno.
Che ne dite?
Quindi ho studiato il valore del limite della funzione nelle restrizioni y=e^(x) e y=e^(-x) ottenendo che in un caso la funzione tende a zero da destra e nell'altro a zero da sinistra quindi ho concluso che il punto critico è un punto di sella poichè la funzione combia di segno in un suo intorno.
Che ne dite?
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