Estremi relativi della funzione $f(x,y)=(y-x^{2})(y-4x^{2})$
Ragà sto affrontando un pò di tracce di esame .... io provo a dare la soluzione e vorrei da voi consigli sulla "bontà" di quello che scrivo 
$f(x,y)=(y-x^{2})(y-4x^{2})$
Inizio determinando i punti critici o stazionari della funzione. Per definizione un punto $x_{0}$ è un punto critico o stazionario se f è differenziabile in $x_{0}$
e se il suo gradiente è uguale a zero, cioè $\nabla f(x_{0})=0$.
Quindi ottengo che:
$f_{x}(x,y)=16x^{3}-10xy=0$
$f_{y}(x,y)=2y-5x^{2}=0$
Risolvendo il sistema ottengo i punti critici della funzione:
$y=\frac{5x^{2}}{2}$
$-9x^{3}=0$
Quindi l'unico punto critico della funzione è $x_{0}=(0,0)$.
Successivamente costruisco la matrice Hessiana:
$f_{xx}=-10y+48x^{2}$
$f_{xy}=-10x=f_{yx}$
$f_{yy}=2$
Quindi si ottiene: $detD^{2}(0,0)=0$ e $f_{yy}=2$>0
Allora posso concludere che esiste un intorno di $x_{0}=(0,0)$ in cui la funzione è convessa ossia $x_{0}=(0,0)$ è un punto di massimo.
Che ne pensate?
$f(x,y)=(y-x^{2})(y-4x^{2})$
Inizio determinando i punti critici o stazionari della funzione. Per definizione un punto $x_{0}$ è un punto critico o stazionario se f è differenziabile in $x_{0}$
e se il suo gradiente è uguale a zero, cioè $\nabla f(x_{0})=0$.
Quindi ottengo che:
$f_{x}(x,y)=16x^{3}-10xy=0$
$f_{y}(x,y)=2y-5x^{2}=0$
Risolvendo il sistema ottengo i punti critici della funzione:
$y=\frac{5x^{2}}{2}$
$-9x^{3}=0$
Quindi l'unico punto critico della funzione è $x_{0}=(0,0)$.
Successivamente costruisco la matrice Hessiana:
$f_{xx}=-10y+48x^{2}$
$f_{xy}=-10x=f_{yx}$
$f_{yy}=2$
Quindi si ottiene: $detD^{2}(0,0)=0$ e $f_{yy}=2$>0
Allora posso concludere che esiste un intorno di $x_{0}=(0,0)$ in cui la funzione è convessa ossia $x_{0}=(0,0)$ è un punto di massimo.
Che ne pensate?
Risposte
Ma tu stai dicendo che la matrice è semidefinita in $(0,0)$. Per dire che è convessa in un intorno, devi mostrare che è semidefinita per ogni punto di quell'intorno.
antimius ... scusa ma non ti ho capito -_-' ...
Lol. Intendevo dire che se la matrice hessiana è semidefinita solo in un punto, non puoi dire che la funzione è convessa.
Se invece, per ogni punto di un intorno di quel punto, la matrice hessiana è semidefinita, allora la funzione è convessa in quell'intorno.
Se invece, per ogni punto di un intorno di quel punto, la matrice hessiana è semidefinita, allora la funzione è convessa in quell'intorno.
e come faccio a dire che è semidefinita in ogni punto dell'intorno?
La tua matrice è solo semidefinita, non puoi trarre conclusioni su cosa sia $x_0$ (ad ogni modo, visto che è positiva e non negativa, sarebbe un minimo e non un massimo)... comunque, lungo la direzione $x = 0$ l'origine è un minimo mentre lungo la direzione $y = 2x^2$ è un massimo quindi dovresti avere davanti un punto di sella...
mi serve uno strumento per capire che sta succedendo ...
O trovi un intorno in cui vale la relazione. Altrimenti, se ti serve di determinare se il punto è di massimo o di minimo puoi procedere in altri modi.
Ad esempio se sai che la matrice hessiana è semidefinita positiva in quel punto, allora già puoi escludere la possibilità che il punto sia di massimo (perché se lo fosse la matrice dovrebbe essere semidefinita negativa, ma qui hai [tex]$f_{yy}=2>0$[/tex]).
Se trovi una restrizione della funzione (passante ovviamente per il punto che stai studiando) per la quale il punto non può essere di minimo, allora il punto è di sella, perché escludi anche l'altra possibilità.
Altrimenti, vedi se riesci a dimostrare con delle disuguaglianze che il punto è di minimo.
Quando le matrici hessiane non danno informazioni sicure, c'è sempre da ingegnarsi un po'.
Ad esempio se sai che la matrice hessiana è semidefinita positiva in quel punto, allora già puoi escludere la possibilità che il punto sia di massimo (perché se lo fosse la matrice dovrebbe essere semidefinita negativa, ma qui hai [tex]$f_{yy}=2>0$[/tex]).
Se trovi una restrizione della funzione (passante ovviamente per il punto che stai studiando) per la quale il punto non può essere di minimo, allora il punto è di sella, perché escludi anche l'altra possibilità.
Altrimenti, vedi se riesci a dimostrare con delle disuguaglianze che il punto è di minimo.
Quando le matrici hessiane non danno informazioni sicure, c'è sempre da ingegnarsi un po'.
Non avevo visto quello che ha scritto Gatto89. Ecco, perfetto, già ti ha fatto un esempio pratico di come agire in queste situazioni!
ok vediamo se con gli elementi che mi avete dato riesco a tirare fuori qualcosa
allora ragà mi sono rivisto un pò di teoria ed ho capito perchè la mia hessiana è semi-definita positiva .... quindi in questa situazione nn riusciamo a concludere niente sulla natura del punto critico ....
quindi ho pensato di studiare il segno della funzione in un intorno del punto critico che in questo caso è (0,0).
Rappresenando graficamente le disequazioni che ottengo dal grafico si può osservare che in un intorno del punto critico la funzione cambia spesso di segno e quindi posso concludere che la (0,0) è un punto di sella ...... che ne pensate?
quindi ho pensato di studiare il segno della funzione in un intorno del punto critico che in questo caso è (0,0).
Rappresenando graficamente le disequazioni che ottengo dal grafico si può osservare che in un intorno del punto critico la funzione cambia spesso di segno e quindi posso concludere che la (0,0) è un punto di sella ...... che ne pensate?
Sì, l'idea è giusta, ma devi mostrare esplicitamente un intorno in cui la funzione assume sia valori maggiori che minori di $f(0,0)$ (che in questo caso vale $0$, per questo puoi fare il discorso del "cambio di segno"). Oppure, trovare opportune restrizioni che escludono che il punto sia un minimo o un massimo (vedi il post di gatto89)
allora mi arrendo -_-'
Non è così difficile studiare il segno di un prodotto di due fattori...
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