Estremi relativi

[darinter]

Devo determinare gli estremi relativi della funzione:$f(x,y)=|y|/(x^2 + y^2)$.
L'insieme di definzione di tale funzione è $A=R^2-{(0,0)}$,calcolo le derivate parziali,e mi vengono:
$f_x=-2·x|y|/(x^2 + y^2)^2$
$f_y=(|y|/y) (x^2+y^2-2y)/(x^2 + y^2)^2$
Specialmente su $f_y$ non sono sicuro che sia giusta.Comunque se entrambe sono giuste il punto $(0,2)$ annullerebbe il gradiente;però prima di procedere con i calcoli volevo chiedere se le derivate le ho fatte bene.

p.s.Ma posso scindere la funzione?

Grazie

[franced]

"darinter":
Devo determinare gli estremi relativi della funzione:$f(x,y)=|y|/(x^2 + y^2)$.
L'insieme di definzione di tale funzione è $A=R^2-{(0,0)}$

Osserva bene la funzione: è simmetrica rispetto agli assi.
Se cambi $x$ con $-x$ e/o $y$ con $-y$ trovi lo stesso valore.

Puoi quindi tranquillamente studiare la funzione nel primo quadrante,
togliendo quel valore assoluto un po' antipatico..

[franced]

La funzione è $\geq 0$, ovviamente.

Il valore $f=0$ è raggiunto sull'asse delle $x$ meno l'origine, ovviamente.

Poi considera la successione $(0;1/n)$ con $n$ naturale.

Cosa accade? Lascio a te le conclusioni.

[franced]

Altra osservazione:

la funzione

$f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$

può essere vista in questo modo:

$f(x,y) = (y)/(sqrt(x^2+y^2)) \cdot (1)/(sqrt(x^2+y^2))$

il termine

$(y)/(sqrt(x^2+y^2))$

non è altro che il seno dell'angolo che il vettore posizione forma con
l'asse delle ascisse.
Tale seno è minore di uno, ovviamente; ma viene moltiplicato per
il termine

$(1)/(sqrt(x^2+y^2))$

che, se il punto è vicino all'origine, assume valori molto elevati
(si tratta dell'inverso della distanza euclidea dall'origine delle coordinate cartesiane).