Estremi, massimo e minimo
Salve ragazzi,
ho questo esercizio:
Studiare estremo superiore e inferiore ed eventuali massimi e minimi del seguente insieme: $A = {(n-7)/(n+1); n in N}$.
Solitamente per risolvere un esercizio del genere lo si studia intuitivamente? O ci sono delle cose 'obbligatorie' da verificare?
Io ho provato a risolverlo come segue:
Noto che per $n < 7$ il risultato è negativo mentre per $n > 7$ è positivo. Per $n = 7$ è $0$. Quindi l'estremo inferiore e l'eventuale minimo sono in $n < 7$, quindi inizio ad analizzare come si comporta $(n-7)/(n+1)$ per $n < 7$. Vedo che la funzione in $[1..7[$ è strettamente crescente, quindi l'estremo inferiore è $n = 1$, quindi $(1-7)/(1+1)=-6/2=-3$. Questo è anche il minimo, dato che è contenuto nell'insieme.
Per l'estremo superiore e l'eventuale massimo invece analizzo come si comporta la funzione per $n > 7$. Noto che anche qui la funzione è strettamente crescente, ma non so se converge a un valore, quindi provo a calcolarne il limite a $+oo$.
$lim_{x->+oo} (n-7)/(n+1) = oo/oo$. Forma indeterminata. Provo a sostituire il limite con il limite del rapporto delle derivate: $lim_{x->+oo} 1/1=1$. Quindi la funzione tende ad $1$, e questo è l'estremo superiore dell'insieme. Non esiste massimo però, dato che $1$ non fa parte dell'insieme.
Il ragionamento è corretto? Ho sbagliato qualcosa o la soluzione non è corretta?
Datemi qualche suggerimento o consiglio please, ne ho bisogno. E' questo il modo giusto di procedere?
Grazie,
Domenico
ho questo esercizio:
Studiare estremo superiore e inferiore ed eventuali massimi e minimi del seguente insieme: $A = {(n-7)/(n+1); n in N}$.
Solitamente per risolvere un esercizio del genere lo si studia intuitivamente? O ci sono delle cose 'obbligatorie' da verificare?
Io ho provato a risolverlo come segue:
Noto che per $n < 7$ il risultato è negativo mentre per $n > 7$ è positivo. Per $n = 7$ è $0$. Quindi l'estremo inferiore e l'eventuale minimo sono in $n < 7$, quindi inizio ad analizzare come si comporta $(n-7)/(n+1)$ per $n < 7$. Vedo che la funzione in $[1..7[$ è strettamente crescente, quindi l'estremo inferiore è $n = 1$, quindi $(1-7)/(1+1)=-6/2=-3$. Questo è anche il minimo, dato che è contenuto nell'insieme.
Per l'estremo superiore e l'eventuale massimo invece analizzo come si comporta la funzione per $n > 7$. Noto che anche qui la funzione è strettamente crescente, ma non so se converge a un valore, quindi provo a calcolarne il limite a $+oo$.
$lim_{x->+oo} (n-7)/(n+1) = oo/oo$. Forma indeterminata. Provo a sostituire il limite con il limite del rapporto delle derivate: $lim_{x->+oo} 1/1=1$. Quindi la funzione tende ad $1$, e questo è l'estremo superiore dell'insieme. Non esiste massimo però, dato che $1$ non fa parte dell'insieme.
Il ragionamento è corretto? Ho sbagliato qualcosa o la soluzione non è corretta?
Datemi qualche suggerimento o consiglio please, ne ho bisogno. E' questo il modo giusto di procedere?
Grazie,
Domenico
Risposte
Credo che l'uso delle derivate, per un insieme discreto,sia...proibito.
Io scriverei f(n) in questo modo:
$f(n)= 1-8/(n+1)$
da cui dovrebbe essere poi facile dedurre quello che ti serve ( e che in parte hai gia' trovato).
Io scriverei f(n) in questo modo:
$f(n)= 1-8/(n+1)$
da cui dovrebbe essere poi facile dedurre quello che ti serve ( e che in parte hai gia' trovato).
"licio":
Credo che l'uso delle derivate, per un insieme discreto,sia...proibito.
Io scriverei f(n) in questo modo:
$f(n)= 1-8/(n+1)$
da cui dovrebbe essere poi facile dedurre quello che ti serve ( e che in parte hai gia' trovato).
Ok. Ciò mi fa comunque riottenere che il limite vale $1$. Il risultato è corretto?
Come mai dici che in parte ho già trovato? Manca qualcosa o ti riferisci solo al fatto che usare le derivate per l'insieme discreto non è corretto?
Grazie,
Domenico
non è sicuramente corretto l'uso delle derivate...
Per calcolare il limite della frazione per $n rarr +oo$ raccogli a numeratore e a denominatore $n $ che poi semplifichi e ottieni quindi che il limite è $1 $ .
in generale se a numeratore e a denominatore ci sono dei polinomi e se il grado massimo è lo stesso allora il limite sarà pari al rapporto dei coefficineti di grado massimo.
Puoi trasformare la successione in una funzione che diventa $ ( x-7/(x+1) $. adesso pui usare Hopital però è un po' come sparare ai moscerini col cannone .
in generale se a numeratore e a denominatore ci sono dei polinomi e se il grado massimo è lo stesso allora il limite sarà pari al rapporto dei coefficineti di grado massimo.
Puoi trasformare la successione in una funzione che diventa $ ( x-7/(x+1) $. adesso pui usare Hopital però è un po' come sparare ai moscerini col cannone .
$n=0$ non lo consideri?
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