Estremi integrazione integrale triplo.
Salve a tutti vi chiedo un aiuto per gli estremi di integrazione dell'integrale triplo definito sull'insieme
$\{ (x,y,z\epsilon\mathbb{R^{q}}:4\leq x^{2}+y^{2},\frac{1}{4}(x^{2}+y^{2})\leq z\leq4\} $
L'integrale:
$\intintint zdxdydz$
Non sono molto pratico con l'utilizzo del linguaggio ma spero sia venuto bene. Grazie a tutti.
$\{ (x,y,z\epsilon\mathbb{R^{q}}:4\leq x^{2}+y^{2},\frac{1}{4}(x^{2}+y^{2})\leq z\leq4\} $
L'integrale:
$\intintint zdxdydz$
Non sono molto pratico con l'utilizzo del linguaggio ma spero sia venuto bene. Grazie a tutti.
Risposte
Ciao non capisco bene cosa tu intenda con estremi di integrazione dal momento che a seconda della strada che utilizzi possono variare...
Comunque in questo caso il tuo dominio(se non sbaglio ) è formato da un cilindro di raggio 2 e zeta compresa tra un paraboloide e il piano z=4 che lo taglia.
Questo è il tipico integrale che inizi ad impostare per fili (paralleli all'asse z) ; lo puoi capire dal fatto che z è compreso tra due funzioni delle variabili x e y.
Quindi i tuoi estremi di integrazioni all'inizio li puoi impostare così :
$int int_D [int_(1/4(x^2 +y^2))^4 z dz] dxdy$ e D è il dominio che ottieni proiettando il dominio iniziale sul piano xy quindi annullando z , perchè ricordati che integri per fili paralleli all'asse z.
Comunque in questo caso il tuo dominio(se non sbaglio
) è formato da un cilindro di raggio 2 e zeta compresa tra un paraboloide e il piano z=4 che lo taglia.Questo è il tipico integrale che inizi ad impostare per fili (paralleli all'asse z) ; lo puoi capire dal fatto che z è compreso tra due funzioni delle variabili x e y.
Quindi i tuoi estremi di integrazioni all'inizio li puoi impostare così :
$int int_D [int_(1/4(x^2 +y^2))^4 z dz] dxdy$ e D è il dominio che ottieni proiettando il dominio iniziale sul piano xy quindi annullando z , perchè ricordati che integri per fili paralleli all'asse z.
"previ91":
Ciao non capisco bene cosa tu intenda con estremi di integrazione dal momento che a seconda della strada che utilizzi possono variare...
Comunque in questo caso il tuo dominio(se non sbaglio
Questo è il tipico integrale che inizi ad impostare per fili (paralleli all'asse z) ; lo puoi capire dal fatto che z è compreso tra due funzioni delle variabili x e y.
Quindi i tuoi estremi di integrazioni all'inizio li puoi impostare così :
$int int_D [int_(1/4(x^2 +y^2))^4 z dz] dxdy$ e D è il dominio che ottieni proiettando il dominio iniziale sul piano xy quindi annullando z , perchè ricordati che integri per fili paralleli all'asse z.
Grazie mille! Quindi D sarebbe la circonferenza $x^2 +y^2$ < 4?
"lo92muse":
Grazie mille! Quindi D sarebbe la circonferenza $x^2 +y^2$ < 4?
$x^2+y^2<4$ è un cerchio, centro l'origine, raggio 2, bordo escluso
$x^2+y^2<=4$ è lo stesso cerchio, bordo (circonferenza) incluso
$x^2+y^2=4$ è solo la circonferenza (la frontiera, il bordo, il confine)
Sarà una piccola correzione, ma c'è differenza tra una porzione di superficie, il cerchio, e una linea, la circonferenza.
Sono daccordo con quello che dice Gio è una correzione molto importante !!
Mentre per quello che mi chiedi si , ottieni proprio la circonferenza e dato le variabili al quadrato che compaiono nell'integrale dopo l'integrazione per fili ed il nuovo dominio a simmetria sferica credo proprio che adesso tu possa proseguire con coordinate polari nel piano.
Mentre per quello che mi chiedi si , ottieni proprio la circonferenza e dato le variabili al quadrato che compaiono nell'integrale dopo l'integrazione per fili ed il nuovo dominio a simmetria sferica credo proprio che adesso tu possa proseguire con coordinate polari nel piano.
"previ91":
Sono daccordo con quello che dice Gio è una correzione molto importante !!
Mentre per quello che mi chiedi si , ottieni proprio la circonferenza e dato le variabili al quadrato che compaiono nell'integrale dopo l'integrazione per fili ed il nuovo dominio a simmetria sferica credo proprio che adesso tu possa proseguire con coordinate polari nel piano.
Grazie per la correzione, scrivendo veloce non ci ho fatto caso. Comunque risolvendo il primo integrale interno ho ottenuto
$\int\int(8-\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{32})dxdy$
Ora lo integro sull'insieme D, scelgo di passare alle coordinate polari e ottengo
$\int_{0}^{2\pi} int_{0}^{2} (8-\frac{\rho^{4}}{32})\rho d\rho d\theta$
successivamente
$\int_{0}^{2\pi} [4\rho^{2}-\frac{\rho^{6}}{192}]d\theta$ con la primitiva da valutare ovviamente tra 0 e 2. Quindi
$\int_{0}^{2\pi}(16-\frac{2}{3}) d\theta$
Risultato: $32\pi-\frac{4}{3}\pi$ ,
= $\frac{92}{3}\pi$ .
Domanda: a me sembra di avere fatto giusto ma perchè il risultato dovrebbe essere $54\pi$ ? Qualche errore banale di calcolo? Grazie ancora
..
Non esce perchè sono uno stupido 
!! Abbiamo sbagliato nel secondo dominio !! Non rimane solo la circonferenza di raggio 2 ma anche la circonferenza data da $1/4 (x^2 +y^2)=4$ (diametro 16 ,raggio 4). In pratica (sempre se non sbaglio perchè come vedi...) ottieni la parte interna fra le due circonferenze ossia una corona circolare. In questo caso per integrare dovrai far variare $rho$ tra i raggi ossia $2
!! Abbiamo sbagliato nel secondo dominio !! Non rimane solo la circonferenza di raggio 2 ma anche la circonferenza data da $1/4 (x^2 +y^2)=4$ (diametro 16 ,raggio 4). In pratica (sempre se non sbaglio perchè come vedi...) ottieni la parte interna fra le due circonferenze ossia una corona circolare. In questo caso per integrare dovrai far variare $rho$ tra i raggi ossia $2
Ottimo ...l'ho risolto ed esce $54pi$ scusa per l'imprecisione di prima 
Facendolo così viene all'incirca $54\pi$ con dei conti piuttosto macchinosi, ma presumo sia esatto ..
..
"previ91":
Ottimo ...l'ho risolto ed esce $54pi$ scusa per l'imprecisione di prima
Riesci a spiegarmi meglio il fatto della seconda circonferenza? La ottieni togliendo z dalla seconda disequazione del dominio di integrazione?
..
"previ91":
Non esce perchè sono uno stupido
Mi rendo conto di essere rompiscatole...
ma il diametro è il doppio del raggio $d=2r$ di conseguenza se $d=16$ segue $r=8$,
mentre forse volevi scrivere: $r^2=16$ segue $r=4$,
Esattamente , perchè "togliendo z partendo da $1/4 (x^2 +y^2)<= z <= 4$ ottieni $1/4 (x^2 +y^2)<=4 ->(x^2 +y^2)<=16 $ circonferenza di raggio 4.
L'integrale che otterrai è come quello di prima con $2
Ho trovato un tuo piccolo errore di calcolo dove scrivi $(16-2/3)$ in realtà è$ (16 -1/3)$ ; ora dovrebbe uscire anche a te !
Ps. Grazie a Gio che corregge tutti i miei stupidi errori.
L'integrale che otterrai è come quello di prima con $2
Ho trovato un tuo piccolo errore di calcolo dove scrivi $(16-2/3)$ in realtà è$ (16 -1/3)$ ; ora dovrebbe uscire anche a te !
Ps. Grazie a Gio che corregge tutti i miei stupidi errori.
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