Estremi inferiori e superiori

[0EMME]

Sarei grato a chiunque mi spiegasse un metodo di risoluzione per questo esercizio che ci ha dato il prof di Calcolo: trovare estremi inferiore e superiore dei seguenti insiemi:

$E:={(2n)/(1+n^2):n in NN}$

$F:={(1+m)/(1+n):m,n in NN}$

non riesco proprio a capire come procedere, e magari a legittimare con una dimostrazione i valori che credo siano giusti, help!

[Sk_Anonymous]

Potrebbe aiutarti la seguente sostituzione:

$\{(a=1+m),(b=1+n):} rarr F:={a/b:a in NN^+, b in NN^+}$

Utilizzando questa notazione, dovrebbe essere più facile identificare $F$ con un insieme noto.

[Quinzio]

Insieme E: intanto dovrebbe esserti chiaro che li dentro ci sono solo numeri positivi.
A questo punto nulla vieta di giocare un po'. Ad esempio n = 0 --> 0. Siccome ci sono solo numeri positivi, è difficile andare sotto allo zero.

Per il massimo, la questione è più sottile. Dovresti studiare $(2x)/(1+x^2)$ e trovare il massimo, quindi ricordare che a te interessano gli x interi...... quindi.....

[luluemicia]

0 e 1 per il primo; 0 e infinito per il secondo.

[0EMME]

a tutto questo diciamo che ci avevo fatto un pensiero pure io, però non riesco a trovare un metodo "operativo" che non sfrutti il colpo d'occhio o comunque non mi obblighi a provare ogni valore possibile. Quello che volgio dire è che non riesco a capire se c'è un metodo (il mio prof aveva accennato a qualche applicazione dell'assioma di Archimede) anche per insiemi dati da formule un pochino più complesse e in cui non siano evidenti gli estremi (sempre senza ricorrere alle derivate). E anche qui non so come leggitimare con una dimostrazione che 1 e 0 siano gli estremi per esempio. Qualche buon'anima che riesca a farmi capire ?

[0EMME]

farò un esempio per essere più chiaro: in quest'altro esercizio di ricerca estremi si ha:

$E:={x=-n^2+22n+10,n in NN}$

ho pensato di riscrivermi così la descrizione dell'insieme:

$-n^2+22n+10=- [(n-11)^2-121-10] = 131 - (n-11)^2 $

e difatti la soluzione dell'esercizio dice che l'estremo sup è 131, però da qui non so assolutamente continuare e spiegarmi il perché sia 131! help!

[Sk_Anonymous]

"chronos":
...però da qui non so assolutamente continuare e spiegarmi il perché sia 131!

Poichè $(n-11)^2>=0$ viene sottratto a $131$, è evidente che il massimo valore assunto da $x$ si ottenga per $n=11$.

"chronos":
...trovare estremi inferiore e superiore dei seguenti insiemi:
$E:={(2n)/(1+n^2):n in NN}$

In questo caso, se proprio non vuoi procedere utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale, puoi provare a dimostrare che la successione è definitivamente decrescente:

$[a_(n+1)0] rarr [n>=1]$