Estremi inferiore e superiore in un triangolo
Salve, stavo svolgendo un esercizio di funzioni in due variabili. Il testo è il seguente:
Data la funzione $f(x,y)=ln\frac{x-y+1}{y}$
a) determinarne il dominio;
b) determinarne il massimo e il minimo assoluti, se esistono, e gli estremi inferiore e superiore, nel triangolo di vertici $(0, 0), (0, 1), (−1, 0)$.
Il dominio l'ho calcolato e mi risulta: $ X={(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y0 , y>x+1\wedgey>0 , y\ne0} $
Ho impostato il sistema per il calcolo dei punti stazionari e il sistema risulta indeterminato.
$ \nablaf(x,y)={ ( \frac{\partial f}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{1}{x-y+1}=0 \Rightarrow 1=0 ),( \frac{\partial f}{\partial y}=0 \Rightarrow -\frac{x+1}{y(x-y+1)}=0 \Rightarrow x=-1 ):} $
Adesso non so come proseguire nel calcolare gli estremi nel triangolo dato.
Spero possiate aiutarmi. Grazie in anticipo.
Data la funzione $f(x,y)=ln\frac{x-y+1}{y}$
a) determinarne il dominio;
b) determinarne il massimo e il minimo assoluti, se esistono, e gli estremi inferiore e superiore, nel triangolo di vertici $(0, 0), (0, 1), (−1, 0)$.
Il dominio l'ho calcolato e mi risulta: $ X={(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y
Ho impostato il sistema per il calcolo dei punti stazionari e il sistema risulta indeterminato.
$ \nablaf(x,y)={ ( \frac{\partial f}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{1}{x-y+1}=0 \Rightarrow 1=0 ),( \frac{\partial f}{\partial y}=0 \Rightarrow -\frac{x+1}{y(x-y+1)}=0 \Rightarrow x=-1 ):} $
Adesso non so come proseguire nel calcolare gli estremi nel triangolo dato.
Spero possiate aiutarmi. Grazie in anticipo.
Risposte
Ti faccio il "copia-incolla" di una risposta che avevo già dato 
Ci sono tre posti dove cercare i candidati massimi o minimi di una funzione \(f\) su di un insieme chiuso e limitato:
[*:1cbs24vm] nei punti in cui \(f\) è differenziabile e il gradiente si annulla;[/*:m:1cbs24vm]
[*:1cbs24vm] nei punti di non differenziabilità;[/*:m:1cbs24vm]
[*:1cbs24vm] nei punti di bordo.[/*:m:1cbs24vm][/list:u:1cbs24vm]
c'è un refuso nel dominio, e $y\ne 0$ è ridondante... In ogni caso è importante chiarire che il dominio è
$D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x> -1 \wedge 0
Ora come hai visto non ci sono estremanti liberi visto che il gradiente non si annulla mai.
Quindi passiamo al triangolo assegnato. Verrebbe da dire come al solito che essendo in un dominio chiuso e limitato devono esistere il massimo e il minimo assoluti per il teorema di Weistrass... TUTTAVIA! la funzione non è definita su ben due dei tre lati del triangolo, e non è definita in nessuno dei tre vertici!
Quindi NON siamo in un insieme chiuso!
Adesso nella parte interna del triangolo non possono esserci estremanti ne assoluti ne relativi, altrimenti il gradiente sarebbe dovuto essere nullo in tali punti, non ci rimane altri che il lato "verticale" del triangolo rettangolo(meno i vertici chiaramente), ovvero il segmento che connette il punto $(0,0)$ al punto $(0,1)$. Bisogna studiare la funzione lungo tale segmento e vedere se ci sono dei candidati massimi o minimi.
Chiaramente questo segmento si parametrizza banalmente fissando $x=0$ ...
quindi studiamo la funzione $g(y)=f(0,y)$ la deriviamo ottenendo $g'(y)=\frac{1}{y(y-1)} $ studiamo il segno della derivata per scovare massimi o minimi... e scopriamo che la funzione è monotona decrescente lungo tutto il segmento aperto.
Quindi non ci sono candidati massimi o minimi , per cui non ci sono massimi o minimi assoluti nell'intersezione fra il triangolo dato e il dominio della funzione.
$D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x> -1 \wedge 0
Ora come hai visto non ci sono estremanti liberi visto che il gradiente non si annulla mai.
Quindi passiamo al triangolo assegnato. Verrebbe da dire come al solito che essendo in un dominio chiuso e limitato devono esistere il massimo e il minimo assoluti per il teorema di Weistrass... TUTTAVIA! la funzione non è definita su ben due dei tre lati del triangolo, e non è definita in nessuno dei tre vertici!
Quindi NON siamo in un insieme chiuso!
Adesso nella parte interna del triangolo non possono esserci estremanti ne assoluti ne relativi, altrimenti il gradiente sarebbe dovuto essere nullo in tali punti, non ci rimane altri che il lato "verticale" del triangolo rettangolo(meno i vertici chiaramente), ovvero il segmento che connette il punto $(0,0)$ al punto $(0,1)$. Bisogna studiare la funzione lungo tale segmento e vedere se ci sono dei candidati massimi o minimi.
Chiaramente questo segmento si parametrizza banalmente fissando $x=0$ ...
quindi studiamo la funzione $g(y)=f(0,y)$ la deriviamo ottenendo $g'(y)=\frac{1}{y(y-1)} $ studiamo il segno della derivata per scovare massimi o minimi... e scopriamo che la funzione è monotona decrescente lungo tutto il segmento aperto.
Quindi non ci sono candidati massimi o minimi , per cui non ci sono massimi o minimi assoluti nell'intersezione fra il triangolo dato e il dominio della funzione.
Quindi considerato il fatto che il sistema del gradiente è indeterminato dovrei cercare i massimi e i minimi vincolati a:
$ V1={(0,y)\in\mathbb{R}^2:0
Quindi calcolando la derivata funzione: $ g(y)=f(0,y)=ln(\frac{-y+1}{y}) $
$ g'(y)=1/(y(y-1)) $
Studiandone il segno ottengo:
$ g'(y)>= 0 \Rightarrow1/(y(y-1))>=0\Rightarrow0
Provando a fare il limite però si ottiene che:
$ lim_(y -> 0) = ln\frac{-y+1}{y} = +infty $
$ lim_(y -> 1) = ln\frac{-y+1}{y} = -infty $
Per cui si può concludere che $ \text(inf) = -infty $ e $ \text(sup) = +infty $
E' corretto il mio ragionamento o ho sbagliato qualcosa?
$ V1={(0,y)\in\mathbb{R}^2:0
Quindi calcolando la derivata funzione: $ g(y)=f(0,y)=ln(\frac{-y+1}{y}) $
$ g'(y)=1/(y(y-1)) $
Studiandone il segno ottengo:
$ g'(y)>= 0 \Rightarrow1/(y(y-1))>=0\Rightarrow0
Provando a fare il limite però si ottiene che:
$ lim_(y -> 0) = ln\frac{-y+1}{y} = +infty $
$ lim_(y -> 1) = ln\frac{-y+1}{y} = -infty $
Per cui si può concludere che $ \text(inf) = -infty $ e $ \text(sup) = +infty $
E' corretto il mio ragionamento o ho sbagliato qualcosa?
Assolutamente si! Tuttavia giusto per mettere i puntini sulle i, ricorda che non hai trovato che il limite della funzione vale $+\infty$ in $(0,0)$ e $-\infty$ in $(0,1)$, hai solo trovato che esiste un cammino lungo il quale la funzione non è limitata rispettivamente superiormente ed inferiormente al tendere a questi due punti. Per fortuna questo è sufficiente per mostrare che la funzione non è limitata.
Ho fatto questa precisazione, solo perché se i limiti non fossero stati infiniti allora questo ragionamento non sarebbe stato sufficiente a stabilire il valore di inf e sup.
Ho fatto questa precisazione, solo perché se i limiti non fossero stati infiniti allora questo ragionamento non sarebbe stato sufficiente a stabilire il valore di inf e sup.
Grazie mille Bossmer mi hai chiarito molti dubbi (grazie anche della precisazione sui due limiti).
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