Estremi inferiore e superiore

[thul]

Buondì, mi son trovato un esercizio da risolvere:
"Siano $E$ ed $F$ due insiemi di numeri reali tali che per ogni $e in E$ e $f in F$ si abbia $e<=f$. Si dimostri che sup E $<=$ inf F."
Io ho provato a risolverlo in questo modo:
Poiché per ogni $f in F$ risulta $e <=f$ , allora $f$ è maggiorante di $E$ che è quindi limitato superiormente. Quindi ogni punto di $F$ sarà un maggiorante di $E$ ed in particolare inf F che per definizione appartiene a F.
Analogamente ripeto il ragionamento per sup E che è minorante di ogni punto di F e così ottengo sup E $<=$ inf F.
Spero di non aver fatto errori di logica e nel qual caso mi farebbe molto piacere essere corretto.
Grazie

[@melia]

Quello che non va nella dimostrazione è che $Sup(E)$ non appartiene necessariamente ad $E$ e $Inf(f)$ non appartiene necessariamente ad $F$.
Ad esempio se $E={1

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[thul]

Grazie per avermi risposto prontamente.
È vero. Quindi dovrei solo dire:
Poiché per ogni f∈F risulta e≤f , allora f è maggiorante di E che è quindi limitato superiormente. Quindi ogni punto di F sarà un maggiorante di E ed in particolare inf F.