Estremi in un insieme (funzione a due variabili)
Determinare gli estremi della funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2y \) in \(\displaystyle Z = \left \{ x^2+y^2 = 1 \right \}
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare
3) Punti critici sulla frontiera
\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)
esplicito rispetto a x
\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)
allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y
\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)
la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)
Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:
\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)
\(\displaystyle g(1) = 0 \)
\(\displaystyle g(-1) = 0 \)
I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle
\left (
\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}
\right )
\)
Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!
\)
1) Cerco tutti quei punti in cui il gradiente si annulla e che allo stesso tempo appartengono a Z
\(\displaystyle
\left\{\begin{matrix}
f_x = 2xy
\\
f_y = x^2
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
(0,0) \notin Z \)
dunque non considero il punto (0,0)
2) Cerco tutti quei punti di non differenziabilità
\(\displaystyle f(x,y) \) è differenziabile ovunque, dunque non ci sono punti da considerare
3) Punti critici sulla frontiera
\(\displaystyle \partial Z = \left \{x^2+y^2 = 1 \right \} \)
esplicito rispetto a x
\(\displaystyle
x^2 = 1-y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1-y^2} \) che ha senso per \(\displaystyle y \in [-1,1] \)
allora la funzione sulla frontiera di Z diventa in funzione di y
\(\displaystyle
g(y) = (1-y^2)y = y-y^3 \)
la cui derivata \(\displaystyle g'(y) \) si annulla in \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [-1,1] \)
Valuto allora g(y) nei seguenti valori di y:
\(\displaystyle g \left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3} \)
\(\displaystyle g(1) = 0 \)
\(\displaystyle g(-1) = 0 \)
I punti sono dunque \(\displaystyle (0,1) \) \(\displaystyle (0,-1) \) e \(\displaystyle
\left (
\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}^3}, \frac{1}{\sqrt{3}}
\right )
\)
Ma quando disegno la funzione con la relativa frontiera su Geogebra non mi trovo con il risultato ottenuto
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao DeltaEpsilon,
Mi risulta che la funzione dispari $z = g(y) = (1 - y^2)y $ abbia un massimo nel punto $M(1/sqrt3, 2/(3 sqrt3)) $ ed un minimo nel punto $L(- 1/sqrt3, - 2/(3 sqrt3))$ ed inoltre si ha $g(-1) = g(0) = g(1) = 0 $.
Mi risulta che la funzione dispari $z = g(y) = (1 - y^2)y $ abbia un massimo nel punto $M(1/sqrt3, 2/(3 sqrt3)) $ ed un minimo nel punto $L(- 1/sqrt3, - 2/(3 sqrt3))$ ed inoltre si ha $g(-1) = g(0) = g(1) = 0 $.
"pilloeffe":
Ciao DeltaEpsilon,
Mi risulta che la funzione dispari $z = g(y) = (1 - y^2)y $ abbia un massimo nel punto $M(1/sqrt3, 2/(3 sqrt3)) $ ed un minimo nel punto $L(- 1/sqrt3, - 2/(3 sqrt3))$ ed inoltre si ha $g(-1) = g(0) = g(1) = 0 $.
Ti ringrazio per la gentile risposta.
Cosa c'è che non va nel mio modo di procedere? Ho cercato dove la derivata prima si annulla, e ho inoltre valutato gli estremi.
Dov'è l'intoppo?
"DeltaEpsilon":
Ho cercato dove la derivata prima si annulla
Cerca meglio...
Dove si annulla $g'(y) = 1 - 3y^2 $? O meglio ancora, quando $ g'(y) = 1 - 3y^2 >= 0 $?
"pilloeffe":
Cerca meglio...
Come un cetriolo ho dimenticato \(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
Il problema è che Geogebra mi dice che i punti che mi son trovato (quelli che hai scritto anche tu nel tuo messaggio) si trovano all'interno dell'insieme Z e non sulla frontiera...
La zona rossa è la frontiera, quella celeste è la funzione in due variabili... i due pallini blu sono il punto di massimo e di minimo... ma stanno dentro Z!
Ma come?!
Io li stavo studiando sulla frontiera...
"DeltaEpsilon":
Ma come?!
Io li stavo studiando sulla frontiera...
Occhio che hai trovato $y$ e $z$, non $x$...
Poi sai che $x^2 = 1 - y^2 \implies x^2 = 2/3 $, infatti si ha:
$ (\pm sqrt{2/3})^2 + (\pm 1/sqrt{3})^2 = 1 $
"pilloeffe":
Occhio che hai trovato $y$ e $z$, non $x$...
Grande, apposto!
Grazie!
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