Estremi funzione di due variabili

Darèios89
[tex]x|y|(4x^2+y^2)[/tex]

Ho trovato (0,0) come punto estremante, però l'hessiano mi viene nullo.
Ora in base a quello che ho visto ieri, dovrei accertarmi che la funzione sia derivabile parzialmente nell'origine prima di procedere con il calcolo dell'hessiano?
Andando a calcolare la derivabilità parziale in y nell'origine trovo 0 al numeratore.
Significa che la derivata viene 0?

Risposte
Luca.Lussardi
Come hai trovato che $(0,0)$ è estremante senza calcolare il differenziale in $(0,0)$?

Darèios89
Ho calcolato le derivate parziali, poi ho risolto il sistema dato ponendo le derivate parziali prime rispetto ad x e y =0.
E ho ottentuto il punto, siccome in un intervento precedente mi è stato fatto notare che una funzione non era derivabilie, mi è venuto questo dubbio....e non so se continuare con lo studio o dover verificare tramite definizione, solo che ottengo 0 nell'impostare il limite, per calcolare la derivabilità rispetto ad y nell'origine.

Luca.Lussardi
La definizione di punto critico vuole la differenziabilità; non basta la derivabilità, altrimenti non puoi dimostrare che se un punto è di estremo locale allora è anche critico.

Darèios89
Io guardando tra gli appunti...non trovo un teorema che dica che ci vuole la differenziabilià, ho trovato il teorema di Fermat...e altro sui punti stazionari ma si parla di derivate parziali prime... :?

Luca.Lussardi
No, ci vuole la differenziabilità, le derivate parziali prime non bastano. E' proprio il th di Fermat che citi anche tu: se $f$ è differenziabile in $x$ e se $x$ è di estremo locale, allora si ha $df(x)=0$.

Darèios89
Scusa Luca, ma evidentemente non lo abbiamo fatto, il teorema di Fermat per le funzioni a due variabili mi dice:

Sia P un punto interno, di estremo relativo, se esistono la derivata parziale rispetto ad x e y in P, allora tale derivate valgono 0.

Non trovo nulla riguardo la differenziabilità...

Luca.Lussardi
Sì, ma devono esistere però le derivate. Quello che non capisco è come tu abbia trovato che $(0,0)$ è critico prima di accertarti che le derivate parziali nell'origine esistono e sono $0$ entrambe ...

Darèios89
No bè...ecco ho la "cattiva abitudine" di lanciarmi a calcolare le derivate con le operazioni sulle derivate prima di accertarmi che esistano, quindi andando avanati se non si pensa a questo problema della derivabilità, io mi sono calcolato le derivate parziali, il gradiente e l'hessiano.
Ho trovato dal gradiente che (0,0) è un punto estremante, poi però andando avanti mi sono accorto del problema che potrebbe non essere derivabile, e ho pensato di verificare l'esistenza della derivata parziale in y nell'origine, ma andando ad usare la definizione, nell'impostare il limite ottengo 0 sostituendo quello che devo sostituire.
E mi chiedevo se posso dire che la derivata esiste e vale 0.

Luca.Lussardi
Esistono le due derivate parziali e fanno $0$, usando la definizione, questo sì.

Darèios89
Quindi è così che succede?
Calcolo la derivata perziale in y nell'origine, nel sostiuire nella definizione ottengo subito 0.
Anche rispetto ad x dovrebbe esistere perchè ottengo sempre 0.
Quindi posso dire che l'origine è un punto estremante (in teoria)
E calcolo l'hessiano, ora mi viene 0, quindi dovrei studiare la funzione in modo diverso. Come?

Luca.Lussardi
Per l'Hessiano devi rifare la stessa trafila, controllare a mano le derivate seconde nell'origine. E' meglio che lasci perdere e controlli a mano la natura dell'origine.

Darèios89
Ma esattamente...cosa intendi per controllare la natura dell'origine?

Luca.Lussardi
Se è massimo, minimo o nessuno dei due.

Darèios89
"Luca.Lussardi":
Se è massimo, minimo o nessuno dei due.
:-D

Eh...bè ma in particolare, per esempio potrebbe tornare utile la definizione di estremo relativo?

Cioè un punto P(x1,x2) è d'estremo relativo se:

[tex]f(x,y)\geq(\leq)f(x1,x2)[/tex] per ogni coppia (x,y) appartenente all'intorno di P.

Quindi sostituendo i valori che mi interessano alla funzione, se sarà sempre maggiore di 0 per esempio allora l'origine sarà di minimo, altrimenti se è negativa sempre sarà di massimo?

In questo caso, sempre se è vero quello che ho detto ( :roll: ) dovrebbe essere di sella perchè la funzione assume valore 0 indipendentemente dal modulo della funzione di partenza.
Altrimenti che cosa potrei fare se è sbagliato quello che ho detto?

Luca.Lussardi
Sì, va usata la definizione. Tieni conto che si tratta di una disequazione in due variabili, per cui studiarla in genere non è automatico. Per quanto riguarda la sella non è chiaro come lo deduci: un punto è di sella quando esistono due curve passanti per il punto, sostanzialmente distinte, tali per cui il punto è di massimo locale se si restringe la funzione ad una delle curve, e di minimo locale se si restringe la funzione all'altra curva.

Darèios89
Mh, e la definizione l'ho riportata bene vero?

Ma in ogni caso...visto che non è immediato studiare la disequazione, come si potrebbe fare?
Non ne ho la più pallida idea.

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