Estremi forti e deboli dei funzionali
Ciao ragazzi, vorrei porvi un quesito teorico di calcolo delle variazioni, perchè pur sapendo che alla fine la risposta sarà una cosa semplice, purtroppo non riesco a trovarla da solo, ed è già un po' che ci rifletto senza successo.
Affrontando i primi cenni di calcolo delle variazioni mi sono imbattuto nella definizione di estremo di un funzionale, definito, nelle dispense che sto usando, tramite metriche lagrangiane, che per evitare ambiguità riporto:
$ d_1=max_[a,b]|f(x)-g(x)| + max_[a,b]|f'(x)-g'(x)| $
$ d_0=max_[a,b]|f(x)-g(x)| $
Abbiamo poi che, $ y_0 $ è un estremo (diciamo un minimo) relativo "debole" per un funzionale $ F(y) $ se
$ EE delta >0 : d_1(y,y_0)F(y_0) $
mentre la stessa funzione $ y_0 $ sarà un minimo relativo "forte" per lo stesso funzionale se
$ EE delta >0 : d_0(y,y_0)F(y_0) $
A questo punto scopro che, se un minimo è forte allora è anche debole, mentre non vale il viceversa. Chiaramente me lo aspettavo visti gli attributi che gli erano stati dati, ma non riesco a spiegarmi questa cosa, anzi mi aspetto che sia al contrario.
Il ragionamento che faccio è che, se ho un minimo e voglio scoprire se è forte o debole, devo vedere quale delle due ipotesi è verificata.
Se ho $ d_1(y,y_0)< delta $ $(1)$ allora l'estremo è debole, ma è anche vero che, essendo questa somma di quantità positive, allora sarà anche $ d_0(y,y_0) < delta $ $(2)$ e quindi il minimo sarà anche forte.
Viceversa, se ho un minimo e scopro che è forte, essendo verificata la $(2)$, come posso dire che è valida anche la $(1)$?
Se $ d_1=d_0 +max_[a,b]|f'(x)-g'(x)| $ come faccio a maggiorare anche questa quantità?
Rido già pensando all'errore madornale celato nei miei ragionamenti, visto che ho controllato e sono sicuro di non aver semplicemente invertito le definizioni.
Spero di essere stato abbastanza chiaro e che possiate aiutarmi, grazie mille in anticipo
Affrontando i primi cenni di calcolo delle variazioni mi sono imbattuto nella definizione di estremo di un funzionale, definito, nelle dispense che sto usando, tramite metriche lagrangiane, che per evitare ambiguità riporto:
$ d_1=max_[a,b]|f(x)-g(x)| + max_[a,b]|f'(x)-g'(x)| $
$ d_0=max_[a,b]|f(x)-g(x)| $
Abbiamo poi che, $ y_0 $ è un estremo (diciamo un minimo) relativo "debole" per un funzionale $ F(y) $ se
$ EE delta >0 : d_1(y,y_0)
mentre la stessa funzione $ y_0 $ sarà un minimo relativo "forte" per lo stesso funzionale se
$ EE delta >0 : d_0(y,y_0)
A questo punto scopro che, se un minimo è forte allora è anche debole, mentre non vale il viceversa. Chiaramente me lo aspettavo visti gli attributi che gli erano stati dati, ma non riesco a spiegarmi questa cosa, anzi mi aspetto che sia al contrario.
Il ragionamento che faccio è che, se ho un minimo e voglio scoprire se è forte o debole, devo vedere quale delle due ipotesi è verificata.
Se ho $ d_1(y,y_0)< delta $ $(1)$ allora l'estremo è debole, ma è anche vero che, essendo questa somma di quantità positive, allora sarà anche $ d_0(y,y_0) < delta $ $(2)$ e quindi il minimo sarà anche forte.
Viceversa, se ho un minimo e scopro che è forte, essendo verificata la $(2)$, come posso dire che è valida anche la $(1)$?
Se $ d_1=d_0 +max_[a,b]|f'(x)-g'(x)| $ come faccio a maggiorare anche questa quantità?
Rido già pensando all'errore madornale celato nei miei ragionamenti, visto che ho controllato e sono sicuro di non aver semplicemente invertito le definizioni.
Spero di essere stato abbastanza chiaro e che possiate aiutarmi, grazie mille in anticipo
Risposte
La risposta è tutta in questa disuguaglianza:
\[
d_1(y, y_0)\ge d_0(y, y_0)\]
Supponi che \(y_0\) sia minimo "forte" (terminologia un po' obsoleta IMHO). Prendi \(y\) tale che \(d_1(y, y_0)\le \delta\). Per la disuguaglianza di sopra si ha che \(d_0(y, y_0)\le \delta\) e quindi \(F(y)\ge F(y_0)\). In simboli
\[
d_1(y, y_0)\le \delta \Rightarrow F(y)\ge F(y_0),\]
ovvero il minimo è anche debole.
\[
d_1(y, y_0)\ge d_0(y, y_0)\]
Supponi che \(y_0\) sia minimo "forte" (terminologia un po' obsoleta IMHO). Prendi \(y\) tale che \(d_1(y, y_0)\le \delta\). Per la disuguaglianza di sopra si ha che \(d_0(y, y_0)\le \delta\) e quindi \(F(y)\ge F(y_0)\). In simboli
\[
d_1(y, y_0)\le \delta \Rightarrow F(y)\ge F(y_0),\]
ovvero il minimo è anche debole.
Certo, ora ho capito!
Grazie mille
Grazie mille
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