Estremi e hessiana se \(f\notin C^2\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! So che, se la funzione $f:A\to\mathbb{R}$ di classe $C^2(A)$ in un aperto $A\subset \mathbb{R}^n$ ha un massimo, o rispettivamente un minimo, in $x_0\in A$, allora la matrice hessiana è semidefinita positiva, o rispettivamente semidefinita negativa. D'altra parte, se la hessiana di $f\in C^2(A)$ è definita positiva, o rispettivamente negativa, allora $f$ ha un minimo, o rispettivamente un massimo, in $x_0\in A$.

Leggo sul Kolmogorov-Fomin (p. 496 qui) che se la funzione \(f(x_1,...,x_n)\) ha un minimo nel punto \((x_1^0,...,x_n^0)\) allora in questo punto si ha $d^2f\ge 0$. (Analogamente, se nel punto $(x_1^0,...,x_n^0)$ si ha un massimo, allora in questo punto $df^2\le 0$) che che se nel punto \((x_1^0,...,x_n^0)\) si ha $df=0$ e $d^2f$ è definita positiva allora \(f(x)\) ha un minimo in questo punto (analogamente un massimo se $d^2f<0$).

Si intende implicitamente che le derivate seconde siano continue in \((x_1^0,...,x_n^0)\): è così o si può rilassare tale ipotesi?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[DavideGenova1]

In effetti questa cosa viene dimostrata per il caso più generale di $F:X\to\mathbb{R}$ con $X$ spazio di Banach sotto l'ipotesi della continuità di \(F''\) (che direi coincida con quella delle derivate seconde se $X=\mathbb{R}^n$ dato che la hessiana è la matrice di \(F''(x_0):X^2 \to\mathbb{R}\) e che, per l'equivalenza delle norme in spazi di dimensione finita, mi pare che la continuità di \(F''\) coincida con quella dei coefficienti della matrice)

Inoltre il teorema per cui

analogo al caso $X=\mathbb{R}^n$

(entrambi senza dire che \(x\mapsto d^2F(x)\) debba essere continua in un intorno di $x_0$) viene dimostrato usando la formula di Taylor \(F(x_0+h)=F(x_0)+F'(x_0)h+\frac{1}{2!}F''(x)(h,h)+o(\|h\|^2)\), ma a p. 484 si dimostra tale formula sotto l'ipotesi di continuità di \(F''\) in un intorno di $x_0$.

Mi sa che -correggetemi se sbaglio, e spero di sbagliare- sia uno dei casi, che non mi stupiscono più, in cui il K-F enuncia o dimostra cose valide solo sotto ipotesi particolari non esplicitate e che \(F''\), ossia tutte le derivate seconde nel caso $X=\mathbb{R}^n$, debba in tutti questi casi essere continua in un intorno di $x_0$... Giusto?