Estremi e bordi

[anto_zoolander]

ciao! ho questo dubbio

sia $f:AsubseteqRR^2->RR$ una funzione con $A$ chiuso.
Supponiamo che $f$ abbia un massimo relativo(assoluto) in corrispondenza di un punto $x_M$ del bordo $partialA$
è chiaro che se esiste un intervallo $JsubseteqRR$ tale che $varphi:J->partialA$ sia una curva semplice che parametrizza il bordo allora il punto $s in J$ tale che $varphi(s)=x_M$ è un punto di massimo per la funzione $fcircvarphi:J->partialA->RR$

infatti se il punto è di massimo assoluto si ha banalmente $f(x)leqf(x_M),forallx in A$ pertanto anche se $x=varphi(t)$
se è di massimo relativo sul bordo allora

$exists r>0: f(x)leqf(x_M),forallx in B(x_M,r)capA$ con $x_M in A$

ora per la continuità di $varphi$ basta prendere $epsilon=r$ per cui esisterà un certo $delta>0$ tale che per ogni $t in J$ tale che

$|t-s|
da cui

$f(varphi(t)) in B(x_M,r)cappartialAsubseteqB(x_M,r)capA$

pertanto $f(varphi(t))leqf(x_M),forall t in B(s, delta)capJ$

quindi se tutti i massimi di $f$ sul bordo sono i massimi della funzione lungo una curva che parametrizza il bordo(ammesso che esista)

quando posso affermare il viceversa? ovvero che tutti i punti quantomeno di massimo relativo sul bordo che si ottengono da una funzione del tipo $fcircvarphi$ siano massimi relativi per $f$?

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Risposte

Bremen000

6 lug 2018, 20:23

Ciao anto, non sono tanto sicuro di capire cosa chiedi e non so manco se ti so rispondere ma mi spiaceva non considerare la domanda.

"anto_zoolander":
[...] infatti se il punto è di massimo assoluto si ha banalmente $ f(x)leqf(x_M),forallx in A $ [...]

e fin qua ho capito. Poi credo tu voglia dimostrare l'affermazione

"anto_zoolander":

Sia $ f:AsubseteqRR^2->RR $ una funzione con $ A $ chiuso.
Supponiamo che $ f $ abbia un massimo relativo(assoluto) in corrispondenza di un punto $ x_M $ del bordo $ partialA $
è chiaro che se esiste un intervallo $ JsubseteqRR $ tale che $ varphi:J->partialA $ sia una curva semplice che parametrizza il bordo allora il punto $ s in J $ tale che $ varphi(s)=x_M $ è un punto di massimo per la funzione $ fcircvarphi:J->partialA->RR $

Ma secondo me manca qualche virgola o c'è qualche "se" di troppo e faccio veramente fatica a capire anche se credo di aver intuito la struttura generale.

La domanda che ti fai è la seguente?

Sia \( f: A \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) con $A$ chiuso. Supponiamo che esista un intervallo $J \subset \mathbb{R}$ e una curva semplice \( \varphi : J \to \mathbb{R}^n \) t.c. \( \varphi(J)= \partial A \).
Sotto quali condizioni è vero che, se $x \in J$ è massimo relativo per la funzione $f \circ \varphi$ in $J$, allora $\mathbf{x}:=\varphi(x)$ è massimo relativo per $f$ su $\partial A$?

Direi sempre

Sotto le ipotesi citate sia $x \in J$ massimo relativo per $f \circ \varphi$ in $J$. Allora esiste un $r>0$ (sufficientemente piccolo per non uscire da $J$) tale che

\[ y \in (x-r,x+r) \Rightarrow (f \circ \varphi)(y) \le (f \circ \varphi)(x) \]

Considera la restrizione di $\varphi$ a \( [x-r/2, x+ r/2] \) che chiamo $\psi$. Allora $\psi$ è continua e iniettiva ( \(\varphi \) è una curva semplice). Allora $\psi$ è un omeomorfismo e in particolare vale

\[ y \in (x-r/3, x+r/3) \Rightarrow (f \circ \psi)(y) \le (f \circ \psi)(x) \]

Sia \( B:= \psi((x-r/3, x+r/3)) \subset \mathbb{R}^n \) che è aperto in \( \partial A\). Se \( \mathbf{y} \in B \) allora esiste unico \(y \in (x-r/3, x+r/3) \) tale che \( \psi(y) = \mathbf{y} \). Quindi

\[ \mathbf{y} \in B \Rightarrow f(\mathbf{y}) = (f \circ \psi)(y) \le (f \circ \psi)(x) = f( \phi(x)) f(\mathbf{x}) \]

Poiché $B$ è aperto in $\partial A$ esiste un aperto $V \subset \mathbb{R}^n$ tale che $B= V \cap \partial A$.
Poiché $V$ è aperto, esiste un $s>0$ tale che $ \mathbf{x} \in B(\mathbf{x},s) \subset V$. Infine abbiamo mostrato che:

Esiste un $s>0$ tale che


\[ \mathbf{y} \in B(\mathbf{x},s) \cap \partial A \Rightarrow f(\mathbf{y}) \le f(\mathbf{x}) \]

ovvero \( \mathbf{x} \) è un massimo relativo per $f$ su $\partial A$.

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anto_zoolander

6 lug 2018, 21:54

Grazie bremen
si sono al corrente del fatto che sono troppo confusionario, sto cercando di lavorarci su...

Comunque hai centrato in pieno la domanda e mi è chiara la dimostrazione però penso di aver trovato un paio di controesempi(nonostante mi parta soltanto il pezzo sull'apertura di $B$ sul bordo).
E' comunque piacevole leggere come ti muovi nelle dimostrazioni
Sono arrivato a questa domanda perchè sto studiando i vincoli al momento e volevo caratterizzarne i punti di massimo

però pensavo ad una cosa: in genere se $f$ non è continua non so se si possa concludere qualcosa, per esempio la funzione

$f(x,y):={(0 if x^2+y^2=1), (1 if x^2+y^2<1):}$

il bordo è parametrizzabile tramite una curva semplice $phi(t)=(cos(t),sin(t))$ con $J=[0,2pi]$
è chiaro che $fcircphi$ è costantemente nulla quindi ogni punto è di massimo ma in preso un qualsiasi $t in [0,2pi]$ il punto $phi(t)$ non è di massimo relativo in quanto in ogni intorno di $phi(t)$ cadono punti in cui la funzione vale $1$

anzi penso che nemmeno valga con la sola continuità
pensavo alla funzione

$f(x,y)=cos(x)+cos(y)$ in $A={(x,y)inRR^2:x^2+y^2leq1}$

se consideriamo di parametrizzare il bordo come $phi(t)=(cos(t),sin(t))$ avremo

$f(phi(t))=cos(cos(t))+cos(sin(t))$

dovrebbe avere un massimo locale in $t=0$ ovvero $f(phi(0))=f(1,0)=cos(1)+1$
ma è anche vero che se consideriamo la funzione in $f(x,0)=cos(x)+1$ essendo $f$ concava in $|x|leq1$ avremo che i punti di minimo sono sul bordo ovvero per $x=pm1$ dunque in ogni intorno del punto $(1,0)$ esiste almeno un punto per cui $f(x,0)geqcos(1)+1$ e quindi non sarà un massimo locale.

penso che vada aggiunta qualche ipotesi

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Bremen000

6 lug 2018, 21:58

Ah ma allora tu vuoi che il punto sia di massimo relativo per $f$ in $A$ e non su $\partial A$!

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anto_zoolander

6 lug 2018, 22:04

Certo sennò era troppo facile!
In quel caso bastava una innocente supposizione per assurdo.

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Bremen000

6 lug 2018, 22:17

Secondo me allora non c'è nessuna ipotesi che lo garantisca, perché, anche se è continua, la funzione sul bordo può un po' fare quello che le pare rispetto a quello che fa dentro. La mappa che parametrizza il bordo cattura il comportamento di $f$ solo in una porzione limitatissima di $A$ quindi non c'è, secondo me , nessuna garanzia che il punto sia di massimo relativo per $f$ in $A$.
Anche più banalmente:
prendi $A= [-1,1] \times [-1,1]$ e

\[ f(x,y) = -x^2 +1+y \]

Allora il punto $(0,0)$ è di massimo relativo per $f$ ristretta al bordo di $A$ ma non lo è per $f$ su $A$. E $f$ è decisamente regolare!

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anto_zoolander

6 lug 2018, 22:27

Ho costruito i primi contro esempi che mi sono saltati in mente
Bah, ho sperato fino all’ultimo che potesse esser vero sotto ipotesi non troppo pesanti.

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dissonance

7 lug 2018, 09:20

Io ragionerei sull'esempio \(A=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x\ge 0\}\) e sulla funzione \(F(x, y)=f(x)+g(y)\), dove \(f\) e \(g\) sono due funzioni arbitrarie, con l'ipotesi \(f(0)=0\). La restrizione di \(F\) a \(\partial A\) è \(F(0, y)=g(y)\), dove la \(f\) sparisce completamente. Non si può concludere nulla su \(f\) a partire da informazioni sulla \(g\), quindi neanche si può concludere nulla su \(F\) a partire dalla sua restrizione al bordo. (P.S.: questo è sostanzialmente lo stesso esempio di Bremen).

Detto questo, esistono delle classi di funzioni per cui le informazioni sul bordo danno informazioni anche nell'interno: le funzioni *armoniche* (e le varianti: superarmoniche, subarmoniche...). @anto: dopo l'esame di analisi complessa ti troverai a studiare queste cose, e lì l'analisi diventa davvero interessante.

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anto_zoolander

7 lug 2018, 14:22

penso che mi sarò già sparato dopo l'esame di analisi

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Sk_Anonymous

10 lug 2018, 19:41

"anto_zoolander":penso che mi sarò già sparato dopo l'esame di analisi

In realtà si può vedere già qualcosa con gli strumenti di Analisi II: prendi un dominio regolare limitato \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \) e una funzione \(f \in C^2 ( \overline{\Omega}) \) tale che \( \Delta f (x ) = 0\) per ogni \( x \in \Omega \) e che \( f (x) =0\) per ogni \(x \in \partial \Omega \). Col teorema della divergenza dimostri che \( f \equiv 0 \) in \( \Omega \).

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[Bremen000]

Ciao anto, non sono tanto sicuro di capire cosa chiedi e non so manco se ti so rispondere ma mi spiaceva non considerare la domanda.

"anto_zoolander":
[...] infatti se il punto è di massimo assoluto si ha banalmente $ f(x)leqf(x_M),forallx in A $ [...]

e fin qua ho capito. Poi credo tu voglia dimostrare l'affermazione

"anto_zoolander":

Sia $ f:AsubseteqRR^2->RR $ una funzione con $ A $ chiuso.
Supponiamo che $ f $ abbia un massimo relativo(assoluto) in corrispondenza di un punto $ x_M $ del bordo $ partialA $
è chiaro che se esiste un intervallo $ JsubseteqRR $ tale che $ varphi:J->partialA $ sia una curva semplice che parametrizza il bordo allora il punto $ s in J $ tale che $ varphi(s)=x_M $ è un punto di massimo per la funzione $ fcircvarphi:J->partialA->RR $

Ma secondo me manca qualche virgola o c'è qualche "se" di troppo e faccio veramente fatica a capire anche se credo di aver intuito la struttura generale.

La domanda che ti fai è la seguente?

Sia \( f: A \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) con $A$ chiuso. Supponiamo che esista un intervallo $J \subset \mathbb{R}$ e una curva semplice \( \varphi : J \to \mathbb{R}^n \) t.c. \( \varphi(J)= \partial A \).
Sotto quali condizioni è vero che, se $x \in J$ è massimo relativo per la funzione $f \circ \varphi$ in $J$, allora $\mathbf{x}:=\varphi(x)$ è massimo relativo per $f$ su $\partial A$?

Direi sempre

Sotto le ipotesi citate sia $x \in J$ massimo relativo per $f \circ \varphi$ in $J$. Allora esiste un $r>0$ (sufficientemente piccolo per non uscire da $J$) tale che

\[ y \in (x-r,x+r) \Rightarrow (f \circ \varphi)(y) \le (f \circ \varphi)(x) \]

Considera la restrizione di $\varphi$ a \( [x-r/2, x+ r/2] \) che chiamo $\psi$. Allora $\psi$ è continua e iniettiva ( \(\varphi \) è una curva semplice). Allora $\psi$ è un omeomorfismo e in particolare vale

\[ y \in (x-r/3, x+r/3) \Rightarrow (f \circ \psi)(y) \le (f \circ \psi)(x) \]

Sia \( B:= \psi((x-r/3, x+r/3)) \subset \mathbb{R}^n \) che è aperto in \( \partial A\). Se \( \mathbf{y} \in B \) allora esiste unico \(y \in (x-r/3, x+r/3) \) tale che \( \psi(y) = \mathbf{y} \). Quindi

\[ \mathbf{y} \in B \Rightarrow f(\mathbf{y}) = (f \circ \psi)(y) \le (f \circ \psi)(x) = f( \phi(x)) f(\mathbf{x}) \]

Poiché $B$ è aperto in $\partial A$ esiste un aperto $V \subset \mathbb{R}^n$ tale che $B= V \cap \partial A$.
Poiché $V$ è aperto, esiste un $s>0$ tale che $ \mathbf{x} \in B(\mathbf{x},s) \subset V$. Infine abbiamo mostrato che:

Esiste un $s>0$ tale che


\[ \mathbf{y} \in B(\mathbf{x},s) \cap \partial A \Rightarrow f(\mathbf{y}) \le f(\mathbf{x}) \]

ovvero \( \mathbf{x} \) è un massimo relativo per $f$ su $\partial A$.

[anto_zoolander]

Grazie bremen
si sono al corrente del fatto che sono troppo confusionario, sto cercando di lavorarci su...

Comunque hai centrato in pieno la domanda e mi è chiara la dimostrazione però penso di aver trovato un paio di controesempi(nonostante mi parta soltanto il pezzo sull'apertura di $B$ sul bordo).
E' comunque piacevole leggere come ti muovi nelle dimostrazioni
Sono arrivato a questa domanda perchè sto studiando i vincoli al momento e volevo caratterizzarne i punti di massimo

però pensavo ad una cosa: in genere se $f$ non è continua non so se si possa concludere qualcosa, per esempio la funzione

$f(x,y):={(0 if x^2+y^2=1), (1 if x^2+y^2<1):}$

il bordo è parametrizzabile tramite una curva semplice $phi(t)=(cos(t),sin(t))$ con $J=[0,2pi]$
è chiaro che $fcircphi$ è costantemente nulla quindi ogni punto è di massimo ma in preso un qualsiasi $t in [0,2pi]$ il punto $phi(t)$ non è di massimo relativo in quanto in ogni intorno di $phi(t)$ cadono punti in cui la funzione vale $1$

anzi penso che nemmeno valga con la sola continuità
pensavo alla funzione

$f(x,y)=cos(x)+cos(y)$ in $A={(x,y)inRR^2:x^2+y^2leq1}$

se consideriamo di parametrizzare il bordo come $phi(t)=(cos(t),sin(t))$ avremo

$f(phi(t))=cos(cos(t))+cos(sin(t))$

dovrebbe avere un massimo locale in $t=0$ ovvero $f(phi(0))=f(1,0)=cos(1)+1$
ma è anche vero che se consideriamo la funzione in $f(x,0)=cos(x)+1$ essendo $f$ concava in $|x|leq1$ avremo che i punti di minimo sono sul bordo ovvero per $x=pm1$ dunque in ogni intorno del punto $(1,0)$ esiste almeno un punto per cui $f(x,0)geqcos(1)+1$ e quindi non sarà un massimo locale.

penso che vada aggiunta qualche ipotesi

[Bremen000]

Ah ma allora tu vuoi che il punto sia di massimo relativo per $f$ in $A$ e non su $\partial A$!

[anto_zoolander]

Certo sennò era troppo facile!
In quel caso bastava una innocente supposizione per assurdo.

[Bremen000]

Secondo me allora non c'è nessuna ipotesi che lo garantisca, perché, anche se è continua, la funzione sul bordo può un po' fare quello che le pare rispetto a quello che fa dentro. La mappa che parametrizza il bordo cattura il comportamento di $f$ solo in una porzione limitatissima di $A$ quindi non c'è, secondo me , nessuna garanzia che il punto sia di massimo relativo per $f$ in $A$.
Anche più banalmente:
prendi $A= [-1,1] \times [-1,1]$ e

\[ f(x,y) = -x^2 +1+y \]

Allora il punto $(0,0)$ è di massimo relativo per $f$ ristretta al bordo di $A$ ma non lo è per $f$ su $A$. E $f$ è decisamente regolare!

[anto_zoolander]

Ho costruito i primi contro esempi che mi sono saltati in mente
Bah, ho sperato fino all’ultimo che potesse esser vero sotto ipotesi non troppo pesanti.

[dissonance]

Io ragionerei sull'esempio \(A=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x\ge 0\}\) e sulla funzione \(F(x, y)=f(x)+g(y)\), dove \(f\) e \(g\) sono due funzioni arbitrarie, con l'ipotesi \(f(0)=0\). La restrizione di \(F\) a \(\partial A\) è \(F(0, y)=g(y)\), dove la \(f\) sparisce completamente. Non si può concludere nulla su \(f\) a partire da informazioni sulla \(g\), quindi neanche si può concludere nulla su \(F\) a partire dalla sua restrizione al bordo. (P.S.: questo è sostanzialmente lo stesso esempio di Bremen).

Detto questo, esistono delle classi di funzioni per cui le informazioni sul bordo danno informazioni anche nell'interno: le funzioni *armoniche* (e le varianti: superarmoniche, subarmoniche...). @anto: dopo l'esame di analisi complessa ti troverai a studiare queste cose, e lì l'analisi diventa davvero interessante.

[anto_zoolander]

penso che mi sarò già sparato dopo l'esame di analisi

[Sk_Anonymous]

"anto_zoolander":penso che mi sarò già sparato dopo l'esame di analisi

In realtà si può vedere già qualcosa con gli strumenti di Analisi II: prendi un dominio regolare limitato \( \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \) e una funzione \(f \in C^2 ( \overline{\Omega}) \) tale che \( \Delta f (x ) = 0\) per ogni \( x \in \Omega \) e che \( f (x) =0\) per ogni \(x \in \partial \Omega \). Col teorema della divergenza dimostri che \( f \equiv 0 \) in \( \Omega \).