Estremi d'integrazione integrale doppio/triplo(No svolgimento)
Sera, ho i seguenti integrali(d'esame) da svolgere:
a)$\int_D x^2y d(x,y) $ con $D={ (x,y) \in R^2| 1/x^2<=y<=x<=2}$
Ho impostato come estremi ${1<=x<=2, 1/x^2<=y<=x } $
b) $\int_D 1/ sqrt(x^2+y^2+z^2) d(x,y,z) $ con $D={ (x,y,z) \in R^3|x^2+y^2+z^2<=2, z>=1 }$
L'ho risolto riconducendomi alle coordinate sferiche e ottenendo come estremi di integrazione: ${1/cos(\phi)<=\rho<=sqrt(2), 0<=\theta<=2\pi, 0<=\phi<=\pi}$ e come funzione integranda : $\rho sin(\phi)$.
Sono corretti?
grazie mille a tutti e buona serata
a)$\int_D x^2y d(x,y) $ con $D={ (x,y) \in R^2| 1/x^2<=y<=x<=2}$
Ho impostato come estremi ${1<=x<=2, 1/x^2<=y<=x } $
b) $\int_D 1/ sqrt(x^2+y^2+z^2) d(x,y,z) $ con $D={ (x,y,z) \in R^3|x^2+y^2+z^2<=2, z>=1 }$
L'ho risolto riconducendomi alle coordinate sferiche e ottenendo come estremi di integrazione: ${1/cos(\phi)<=\rho<=sqrt(2), 0<=\theta<=2\pi, 0<=\phi<=\pi}$ e come funzione integranda : $\rho sin(\phi)$.
Sono corretti?
grazie mille a tutti e buona serata
Risposte
Se posso aggiungere,
$\int_D (x^2 e^z) / (1+z^2)^2 d(x,y,z)$ dove $D= {(x,y,z)\in R^3 | -1<=z<=1 , x^2+y^2<= 1+z^2}$
Passando alle coordinate cilindriche, ottengo:
funzione integranda: $ ( \rho^3 e^z cos^2 (\theta)) / (1+z^2)^2 $
estremi d'integrazione: ${-1<=z<=1, 0<=\theta<=2\pi, 0<=\rho<= sqrt(1+z^2)}$
Siete d'accordo con quanto scritto?
grazie mille ancora
$\int_D (x^2 e^z) / (1+z^2)^2 d(x,y,z)$ dove $D= {(x,y,z)\in R^3 | -1<=z<=1 , x^2+y^2<= 1+z^2}$
Passando alle coordinate cilindriche, ottengo:
funzione integranda: $ ( \rho^3 e^z cos^2 (\theta)) / (1+z^2)^2 $
estremi d'integrazione: ${-1<=z<=1, 0<=\theta<=2\pi, 0<=\rho<= sqrt(1+z^2)}$
Siete d'accordo con quanto scritto?
grazie mille ancora
a) Mi sembra perfetto!
b) Credo ci sia un errore... io metterei $0\leq \phi \leq \pi/4$, altrimenti la condizione $z\geq 1$ non è soddisfatta. Infatti $z\geq 1$ implica $\rho\cos\phi\geq 1$, e giustamente tu poni $1/\cos\phi\leq \rho$. In questo modo però stai includendo anche i valori di $\phi$ tali per cui $\cos\phi<\sqrt{2}/2$, ed essendo $\rho\leq \sqrt{2}$, otterresti $z=\rho\cos\phi<\sqrt{2}\sqrt{2}/2=1$.
L'ultimo integrale mi sembra ok!
b) Credo ci sia un errore... io metterei $0\leq \phi \leq \pi/4$, altrimenti la condizione $z\geq 1$ non è soddisfatta. Infatti $z\geq 1$ implica $\rho\cos\phi\geq 1$, e giustamente tu poni $1/\cos\phi\leq \rho$. In questo modo però stai includendo anche i valori di $\phi$ tali per cui $\cos\phi<\sqrt{2}/2$, ed essendo $\rho\leq \sqrt{2}$, otterresti $z=\rho\cos\phi<\sqrt{2}\sqrt{2}/2=1$.
L'ultimo integrale mi sembra ok!
Per il b) hai super ragione, colpa della distrazione. Grazie mille billyballo2123
Figurati 
Colgo l'occasione per riportare un integrale che non mi torna proprio:
$\int_D y/(sqrt(x^2+y^2)) d(x,y,z) $ con $D={(x,y,z)|0<=z<=x^2+y^2<=2x, -sqrt(3)x<=y<=x }$
Passo alle coordinate cilindriche e ottengo:
estremi d'integrazione ${0<=z<=\rho^2, 0<=\rho<=2cos(\theta), -\pi/3<=\theta<=\pi/4} $
funzione integranda: $\rhosin(\theta)$
Tuttavia, avendo di questo integrale la soluzione, i professori propongono che l'angolo $\theta$ varia tra $[-\pi/3, pi/2]$ come mai?
Grazie
$\int_D y/(sqrt(x^2+y^2)) d(x,y,z) $ con $D={(x,y,z)|0<=z<=x^2+y^2<=2x, -sqrt(3)x<=y<=x }$
Passo alle coordinate cilindriche e ottengo:
estremi d'integrazione ${0<=z<=\rho^2, 0<=\rho<=2cos(\theta), -\pi/3<=\theta<=\pi/4} $
funzione integranda: $\rhosin(\theta)$
Tuttavia, avendo di questo integrale la soluzione, i professori propongono che l'angolo $\theta$ varia tra $[-\pi/3, pi/2]$ come mai?
Grazie
Secondo me è sbagliata la soluzione dei prof!
Ti ringrazio, billyballo2123. Oggi ho chiesto al professore e mi ha confermato l'errore. Posto altri integrali che magari possono servire ad altri utenti del gruppo.
Nota: Non è richiesto lo svolgimento ma solo la correttezza degli estremi d'integrazione
1)Calcolare $\int _ D y d(x,y)$ con $D={(x,y)| x>=0, (1-x)/2<=y<=1-x^2}$
2)Calcolare $\int_C xz^2 d(x,y,z)$ con $C={(x,y,z)|0<=z<=sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2-2y<=0 }$
Ho provato a risolverli giungendo a questa conclusione:
1) dopo aver disegnato il grafico per completezza, estremi d'integrazione ${(1-x)/2 <=y<=1-x^2, 0<=x<=1}$ e come funzione integranda rimane quella fornita.
2)passando alle coordinate cilindriche, ottengo come funzione integranda ${z^2\rho^2cos\theta}$ e come estremi d'integrazione: ${0<=z<=\rho, 0<=\theta<=\pi, 0<=\rho<=2sen\theta}$
Che ne pensate?
grazie mille a tutti e buona serata!
Nota: Non è richiesto lo svolgimento ma solo la correttezza degli estremi d'integrazione
1)Calcolare $\int _ D y d(x,y)$ con $D={(x,y)| x>=0, (1-x)/2<=y<=1-x^2}$
2)Calcolare $\int_C xz^2 d(x,y,z)$ con $C={(x,y,z)|0<=z<=sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2-2y<=0 }$
Ho provato a risolverli giungendo a questa conclusione:
1) dopo aver disegnato il grafico per completezza, estremi d'integrazione ${(1-x)/2 <=y<=1-x^2, 0<=x<=1}$ e come funzione integranda rimane quella fornita.
2)passando alle coordinate cilindriche, ottengo come funzione integranda ${z^2\rho^2cos\theta}$ e come estremi d'integrazione: ${0<=z<=\rho, 0<=\theta<=\pi, 0<=\rho<=2sen\theta}$
Che ne pensate?
grazie mille a tutti e buona serata!
Eccone un terzo, fresco fresco 
Calcolare :
3) $\int_E x/(2-y^2) d(x,y)$ con $E={(x,y)| x,y>=0, y<=x^2, x^2+y^2<=2}$
L'ho risolto graficamente e senza ricorrere alle coordinate polari ottenendo come estremi d'integrazione ${sqrt(y)<=x<=sqrt(2-y^2), 0<=y<=1} $ e come funzione integranda quella fornita dal testo.
4) Calcolare:
$\int_A yz d(x,y,z)$ con $A={(x,y,z)\in R^3|x,y>=0, 0<=z<=x,2x+y<=1}$
Risolvendolo graficamente, ottengo:
funzione integranda fornita dal testo e come estremi d'integrazione: ${0<=x<=1/2,0<=y<=1-2x,0<=z<=x}$
5) Calcolare:
$\int_T y/(2+x^2) d(x,y)$ con $A={(x,y)|x>=0, x^2+y^2<=2, y>=x^2}$
Ottengo: estremi d'integrazione ${0<=x<=1, x^2<=y<=sqrt(2-x^2)}$
Secondo voi, sono corretti?
Nuovamente grazie, senza di voi non so come farei!
Calcolare :
3) $\int_E x/(2-y^2) d(x,y)$ con $E={(x,y)| x,y>=0, y<=x^2, x^2+y^2<=2}$
L'ho risolto graficamente e senza ricorrere alle coordinate polari ottenendo come estremi d'integrazione ${sqrt(y)<=x<=sqrt(2-y^2), 0<=y<=1} $ e come funzione integranda quella fornita dal testo.
4) Calcolare:
$\int_A yz d(x,y,z)$ con $A={(x,y,z)\in R^3|x,y>=0, 0<=z<=x,2x+y<=1}$
Risolvendolo graficamente, ottengo:
funzione integranda fornita dal testo e come estremi d'integrazione: ${0<=x<=1/2,0<=y<=1-2x,0<=z<=x}$
5) Calcolare:
$\int_T y/(2+x^2) d(x,y)$ con $A={(x,y)|x>=0, x^2+y^2<=2, y>=x^2}$
Ottengo: estremi d'integrazione ${0<=x<=1, x^2<=y<=sqrt(2-x^2)}$
Secondo voi, sono corretti?
Nuovamente grazie, senza di voi non so come farei!
A me sembrano tutti corretti!!!
Grazie mille billyballo2123, sei fantastico. Nel caso avessi problemi, riscrivo qui senza aprire un secondo topic che tratta lo stesso argomento.
Buona giornata!
Buona giornata!
Rieccomi(per sfortuna 
)!
Continuando a svolgere integrali per perfezionare la tecnica, ho trovato un dubbio su un certo estremo di integrazione di un integrale triplo( proveniente da una prova d'esame).
OSS: non è richiesto lo svolgimento.
E' il seguente:
Utilizzando coordinate sferiche , calcolare l'integrale
$\int_A 1/ (x^2+y^2+z^2) dx dy dz $, $A= {(x,y,z)| x^2+y^2+z^2<=2, z>=(x^2+y^2)^(1/4)}$
Come ordinato dal testo d'esercizio, utilizzo le coordinate sferiche ottenendo come estremi d'integrazione
$ { 0<= \rho<=sqrt(2) , 0<=\theta <=2\pi, 0<= \phi<=\pi/4 }$ e come funzione integranda ${ sin\phi} $.
Il dubbio è nella condizione di $\rho $ in quanto la soluzione fornita dai professori sostiene che $ tan(\phi) / cos(\phi) <=\rho<= sqrt(2)$. Da dove esce fuori $tan(\phi) / cos(\phi)$ ?
grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno a risolvere questo dubbio!
buona serata a tutti
)! Continuando a svolgere integrali per perfezionare la tecnica, ho trovato un dubbio su un certo estremo di integrazione di un integrale triplo( proveniente da una prova d'esame).
OSS: non è richiesto lo svolgimento.
E' il seguente:
Utilizzando coordinate sferiche , calcolare l'integrale
$\int_A 1/ (x^2+y^2+z^2) dx dy dz $, $A= {(x,y,z)| x^2+y^2+z^2<=2, z>=(x^2+y^2)^(1/4)}$
Come ordinato dal testo d'esercizio, utilizzo le coordinate sferiche ottenendo come estremi d'integrazione
$ { 0<= \rho<=sqrt(2) , 0<=\theta <=2\pi, 0<= \phi<=\pi/4 }$ e come funzione integranda ${ sin\phi} $.
Il dubbio è nella condizione di $\rho $ in quanto la soluzione fornita dai professori sostiene che $ tan(\phi) / cos(\phi) <=\rho<= sqrt(2)$. Da dove esce fuori $tan(\phi) / cos(\phi)$ ?
grazie mille a tutti coloro che mi aiuteranno a risolvere questo dubbio!
buona serata a tutti
Intuitivamente e graficamente mi è chiaro che non può essere $0\leq \rho \leq \sqrt{2}$. Se infatti così fosse, dato che le coordinate sferiche sono
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \rho\sin\phi\cos\vartheta \\
y = \rho\sin\phi\sin\vartheta \\
z = \rho \cos\phi
\end{array}
\right.
,
\]
con le coordinate $\rho = \sqrt{2}/2$, $\phi = \pi/4$ e $\vartheta = 0$ avremmo $x = 1/2$, $y=0$ e $z = 1/2$, che non soddisfa $z\geq (x^2+y^2)^{1/4}$.
Però non ti so dire come ottenere $\tan\phi/\cos\phi\leq \rho \leq \sqrt{2}$.
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = \rho\sin\phi\cos\vartheta \\
y = \rho\sin\phi\sin\vartheta \\
z = \rho \cos\phi
\end{array}
\right.
,
\]
con le coordinate $\rho = \sqrt{2}/2$, $\phi = \pi/4$ e $\vartheta = 0$ avremmo $x = 1/2$, $y=0$ e $z = 1/2$, che non soddisfa $z\geq (x^2+y^2)^{1/4}$.
Però non ti so dire come ottenere $\tan\phi/\cos\phi\leq \rho \leq \sqrt{2}$.
Trovato! Sostituendo le coordinate sferiche in $z\geq (x^2+y^2)^{1/4}$ si ha
\[
\begin{array}{l}
\rho\cos\phi\geq (\rho^2\sin^2\phi\cos^2\vartheta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\vartheta)^{\frac{1}{4}} \\
\rho^4\cos^4\phi\geq \rho^2\sin^2\phi\cos^2\vartheta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\vartheta \\
\rho^2\cos^4\phi \geq \sin^2\phi(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta) \\
\rho^2\geq \frac{\sin^2\phi}{\cos^4\phi}=\frac{\tan^2\phi}{\cos^2\phi} \\
\rho \geq \frac{\tan\phi}{\cos\phi}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\rho\cos\phi\geq (\rho^2\sin^2\phi\cos^2\vartheta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\vartheta)^{\frac{1}{4}} \\
\rho^4\cos^4\phi\geq \rho^2\sin^2\phi\cos^2\vartheta+\rho^2\sin^2\phi\sin^2\vartheta \\
\rho^2\cos^4\phi \geq \sin^2\phi(\cos^2\vartheta+\sin^2\vartheta) \\
\rho^2\geq \frac{\sin^2\phi}{\cos^4\phi}=\frac{\tan^2\phi}{\cos^2\phi} \\
\rho \geq \frac{\tan\phi}{\cos\phi}
\end{array}
\]
billyballo2123, come al solito gentilissimo!
Fortunatamente, giocandoci un po' sopra sono riuscito a ricavarmi la condizione $ tan(\phi) / cos(\phi) <=\rho<= sqrt(2) $ prima che leggessi la tua soluzione.
Ho un altro integrale che mi desta un paio di dubbi, più che altro la soluzione dei professori. E' il seguente:
Calcolare $I= \int_V x^2+y^2 d(x,y,z)$ dove $V={(x,y,z)| 1<=x^2+y^2+z^2<=4, y<=0}$
Passo alle coordinate sferiche, ottenendo come funzione integranda ${\rho^4 sin^3\phi }$ e come estremi d'integrazione ${ 1<=\rho<=2, \pi<=\theta<=2\pi} $ . La condizione che manca è quella dell'angolo $\phi$. L'esercizio mi dice che $\rhosin(\theta)sin(\phi)<=0$ e questo implicherebbe $\pi<=\phi <=2\pi$. Però, dalla soluzione fornita dai professori si ha che $ 0<=\phi<=\pi$. Ma, ricordandomi la definizione di coordinate sferiche, io so che $\rho>=0$, $0<=\theta<=2\pi$ e $0<=\phi<=\pi$. Come mai i professori pongono $ 0<=\phi<=\pi$ nonostante $ sin(\phi)<=0$ ?
Grazie mille(spero di aver espresso il mio dubbio in maniera chiara )
Fortunatamente, giocandoci un po' sopra sono riuscito a ricavarmi la condizione $ tan(\phi) / cos(\phi) <=\rho<= sqrt(2) $ prima che leggessi la tua soluzione.
Ho un altro integrale che mi desta un paio di dubbi, più che altro la soluzione dei professori. E' il seguente:
Calcolare $I= \int_V x^2+y^2 d(x,y,z)$ dove $V={(x,y,z)| 1<=x^2+y^2+z^2<=4, y<=0}$
Passo alle coordinate sferiche, ottenendo come funzione integranda ${\rho^4 sin^3\phi }$ e come estremi d'integrazione ${ 1<=\rho<=2, \pi<=\theta<=2\pi} $ . La condizione che manca è quella dell'angolo $\phi$. L'esercizio mi dice che $\rhosin(\theta)sin(\phi)<=0$ e questo implicherebbe $\pi<=\phi <=2\pi$. Però, dalla soluzione fornita dai professori si ha che $ 0<=\phi<=\pi$. Ma, ricordandomi la definizione di coordinate sferiche, io so che $\rho>=0$, $0<=\theta<=2\pi$ e $0<=\phi<=\pi$. Come mai i professori pongono $ 0<=\phi<=\pi$ nonostante $ sin(\phi)<=0$ ?
Grazie mille(spero di aver espresso il mio dubbio in maniera chiara )
"Dave95":
L'esercizio mi dice che $\rhosin(\theta)sin(\phi)<=0$ e questo implicherebbe $\pi<=\phi <=2\pi$.
Dato che $\rho \geq 0$ e $\sin\vartheta\leq 0$ (essendo $\pi\leq\vartheta\leq 2\pi$), deve essere $0\leq \phi\leq \pi$ (cioè $\sin\phi\geq 0$), altrimenti non è soddisfatta la condizione $\rho\sin\vartheta\sin\phi\leq 0$.
Salve posto in questa domanda, in quanto il mio problema è uguale a questo . Data una funzione io devo calcolare l'integrale doppio sul seguente insieme utilizzando le coordinate polari :
$ V={(u,v)∣ sqrt(3) |u| <= v <= sqrt (4- u^2) } $
Io ho sostituito le coordinate polari usando la u come x e la v come y e ho trovato che $ \pi /3 < \theta < 2\pi /3 $ e $ 0 <= \rho <= 2 $ e questo è il risultato del libro ma se io controllo anche che :
$ sqrt(3) |\rho cos (\theta) | <= sqrt (4 - (\rho cos(\theta) )^2 $
trovo anche che $ \rho^2 cos^2 ( \theta) <= 1 $ ma perché nelle soluzioni non c'è ?
$ V={(u,v)∣ sqrt(3) |u| <= v <= sqrt (4- u^2) } $
Io ho sostituito le coordinate polari usando la u come x e la v come y e ho trovato che $ \pi /3 < \theta < 2\pi /3 $ e $ 0 <= \rho <= 2 $ e questo è il risultato del libro ma se io controllo anche che :
$ sqrt(3) |\rho cos (\theta) | <= sqrt (4 - (\rho cos(\theta) )^2 $
trovo anche che $ \rho^2 cos^2 ( \theta) <= 1 $ ma perché nelle soluzioni non c'è ?
"billyballo2123":
[quote="Dave95"]L'esercizio mi dice che $\rhosin(\theta)sin(\phi)<=0$ e questo implicherebbe $\pi<=\phi <=2\pi$.
Dato che $\rho \geq 0$ e $\sin\vartheta\leq 0$ (essendo $\pi\leq\vartheta\leq 2\pi$), deve essere $0\leq \phi\leq \pi$ (cioè $\sin\phi\geq 0$), altrimenti non è soddisfatta la condizione $\rho\sin\vartheta\sin\phi\leq 0$.[/quote]
billyballo2123, che dire?
Grazie mille.
Sei grande!
"Dave95":
billyballo2123, che dire?
Grazie mille.
Sei grande!
Figurati
"MementoMori":
Salve posto in questa domanda, in quanto il mio problema è uguale a questo . Data una funzione io devo calcolare l'integrale doppio sul seguente insieme utilizzando le coordinate polari :
$ V={(u,v)∣ sqrt(3) |u| <= v <= sqrt (4- u^2) } $
Io ho sostituito le coordinate polari usando la u come x e la v come y e ho trovato che $ \pi /3 < \theta < 2\pi /3 $ e $ 0 <= \rho <= 2 $ e questo è il risultato del libro ma se io controllo anche che :
$ sqrt(3) |\rho cos (\theta) | <= sqrt (4 - (\rho cos(\theta) )^2 $
trovo anche che $ \rho^2 cos^2 ( \theta) <= 1 $ ma perché nelle soluzioni non c'è ?
Perché essendo $\pi/3\leq \vartheta \leq 2/3 \pi$ si ha che $|\cos\vartheta| \leq 1/2$, ed essendo $0\leq \rho \leq 2$ risulta $\rho|\cos\vartheta| \leq 1$. In altre parole, ponendo $\pi/3\leq \vartheta \leq 2/3 \pi$ e $0\leq \rho \leq 2$, si sta imponendo implicitamente $\rho^2\cos^2\vartheta \leq 1$.
P.s. Anche se l'argomento è simile, apri una nuova discussione!!
Sera a tutti, altro integrale che può esser utile(No svolgimento)
Calcolare $\int_A 1/ sqrt(x^2+y^2+z^2) d(x,y,z)$ dove $A={(x,y,z)| x^2+y^2+z^2<=2, z>=1}$
Svolgendolo , ho ottenuto come funzione integranda ${\rho sin\phi}$ e come estremi d'integrazione: ${1/cos\phi<=\rho<=sqrt(2), 0<=\theta<=2\pi, \pi/4<=\phi<=pi}$ . La condizione di $\phi$ l'ho ottenuta da questa: ${sqrt(2)>= 1/cos\phi}$
Siete d'accordo?
Grazie e buona serata a tutti!
Calcolare $\int_A 1/ sqrt(x^2+y^2+z^2) d(x,y,z)$ dove $A={(x,y,z)| x^2+y^2+z^2<=2, z>=1}$
Svolgendolo , ho ottenuto come funzione integranda ${\rho sin\phi}$ e come estremi d'integrazione: ${1/cos\phi<=\rho<=sqrt(2), 0<=\theta<=2\pi, \pi/4<=\phi<=pi}$ . La condizione di $\phi$ l'ho ottenuta da questa: ${sqrt(2)>= 1/cos\phi}$
Siete d'accordo?
Grazie e buona serata a tutti!
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