Estremi di una successione
Ciao, avrei un piccolo dubbio per provare gli estremi di una successione:
$ {1/n sen (n pi)/4} $
In maniera intuitiva si vede che il minimo è $ -1/6 $ per n=6 e il massimo è $ 1/2 $ per n=2.
Solo che questo non basta perchè dovrei provarlo, cioè devo dimostrare che per nessun'altro valore di n la successione abbia valori minori del minimo o maggiori del massimo.
Qualcuno sa che strada prendere per arrivare a dimostrare la soluzione?
$ {1/n sen (n pi)/4} $
In maniera intuitiva si vede che il minimo è $ -1/6 $ per n=6 e il massimo è $ 1/2 $ per n=2.
Solo che questo non basta perchè dovrei provarlo, cioè devo dimostrare che per nessun'altro valore di n la successione abbia valori minori del minimo o maggiori del massimo.
Qualcuno sa che strada prendere per arrivare a dimostrare la soluzione?
Risposte
Puoi osservare che
[tex]$-\frac{1}{n}\le\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{4}\le\frac{1}{n}$[/tex]
E ricordare che i valori estremi gli otterrai ogniqualvolta [tex]$\frac{n\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{n\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$[/tex]. Pertanto [tex]$n=2+8k,\ n=6+8k$[/tex] e dal momento che le frazioni assumono valore minore man mano che il denominatore aumenta potrai affermare che [tex]$n=2,\ n=6$[/tex] rappresentano i valori per cui si ottengono, rispettivamente, il massimo $1/2$ e il minimo $-1/6$.
[tex]$-\frac{1}{n}\le\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{4}\le\frac{1}{n}$[/tex]
E ricordare che i valori estremi gli otterrai ogniqualvolta [tex]$\frac{n\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{n\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$[/tex]. Pertanto [tex]$n=2+8k,\ n=6+8k$[/tex] e dal momento che le frazioni assumono valore minore man mano che il denominatore aumenta potrai affermare che [tex]$n=2,\ n=6$[/tex] rappresentano i valori per cui si ottengono, rispettivamente, il massimo $1/2$ e il minimo $-1/6$.
Chiarissimo, facile da capire ma ad arrivarci ci vuole esperienza... grazie mille ciampax! 
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