Estremi di una successione
Ciao a tutti, ho un problema con una successione.
Sia \(\displaystyle x_n=log \frac{1+e^n}{2+e^n} \), devo provare che è crescente, calcolarne il limite, massimo, minimo ed estremi superiore ed inferiore (se esistono).
Dunque, una prova formale della sua crescenza non sono riuscito a trovarla, purtroppo. Ho ipotizzato sia tale per poter calcolare almeno gli altri punti dell'esercizio.
Quindi, supponendo la successione crescente, ho calcolato il valore dei limiti a \(\displaystyle \pm \infty \). Dunque:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = 0 \), mentre \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow-\infty}x_n = -log(2) \).
Ora, essendo la successione monotona crescente, l'estremo superiore è uguale al limite \(\displaystyle sup = \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = 0 \).
Per quanto riguarda l'estremo inferiore non posso dire nulla, ma...considerando che il limite per x che tende a -infinito tende ad un valore finito (-log(2)), ciò non significa che questa successione ha come estremo inferiore proprio questo valore?
Grazie in anticipo!
Sia \(\displaystyle x_n=log \frac{1+e^n}{2+e^n} \), devo provare che è crescente, calcolarne il limite, massimo, minimo ed estremi superiore ed inferiore (se esistono).
Dunque, una prova formale della sua crescenza non sono riuscito a trovarla, purtroppo. Ho ipotizzato sia tale per poter calcolare almeno gli altri punti dell'esercizio.
Quindi, supponendo la successione crescente, ho calcolato il valore dei limiti a \(\displaystyle \pm \infty \). Dunque:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = 0 \), mentre \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow-\infty}x_n = -log(2) \).
Ora, essendo la successione monotona crescente, l'estremo superiore è uguale al limite \(\displaystyle sup = \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = 0 \).
Per quanto riguarda l'estremo inferiore non posso dire nulla, ma...considerando che il limite per x che tende a -infinito tende ad un valore finito (-log(2)), ciò non significa che questa successione ha come estremo inferiore proprio questo valore?
Grazie in anticipo!
Risposte
per provare la crescenza basta osservare che
$(1+e^n)/(2+e^n)=1-1/(2+e^n)$
$(1+e^n)/(2+e^n)=1-1/(2+e^n)$
Giusto! Non avevo pensato a questa forma! Ora sono sicuro sia crescente, ma resta il dubbio sugli estremi...
una successione numerica è definita nell'insieme dei numeri naturali
quindi la successione data ha minimo in corrispondenza del primo numero naturale,ed estremo superiore uguale a $0$
quindi la successione data ha minimo in corrispondenza del primo numero naturale,ed estremo superiore uguale a $0$
Quindi banalmente \(\displaystyle inf = log\frac{2}{3} \) e \(\displaystyle sup = 0 \) ? 
non inf
$min=log(2/3)$
$min=log(2/3)$
Giusto, è stata una piccola distrazione. Grazie mille! 
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