Estremi di una funzione in due variabili

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, devo trovare gli estremi relativi di una funzione dipendente da $ainRR$:
\[f_a(x,y)=\displaystyle\frac{1+ax^2}{1+x^2+y^2}\]
Ho calcolato le derivate parziali: \[\partial_x f_a=\displaystyle\frac{2ax(1+x^2+y^2)-2x(1+ax^2)}{(1+x^2+y^2)^2}; ~~~~~~~~~~~~~ \partial_y f_a=\displaystyle\frac{-2y(1+ax^2)}{(1+x^2+y^2)^2};\]
Pongo \(\nabla f_a(x,y)=\mathbf{0}\), ottenendo il sistema \(\begin{cases} 2ax+2ax^3+2axy^2-2x-2ax^3=0 \\ -2y-2yax^2=0 \end{cases}\)

Poi però mi blocco, perché ho difficoltà a capire come discutere la soluzione al variare del parametro...

[Luca.Lussardi]

Io raccoglierei $2y$ nella seconda e spezzi subito, poi discuti sul segno di $a$.

[Gustav Wittgenstein]

Uh, in effetti posso semplificare la seconda equazione, supponendo $y!=0$... quindi avrei $1+ax^2=0 rarr x^2=-1/a$ che implica che $a$ deve essere negativo. In tal caso quindi posto $b:=-a$ si ha $x=+-sqrt(b)/b$.

Poi posso andare avanti considerando $y=0, x!=0$; in questo caso la seconda equazione diventa un'identità e la prima si riduce a $2ax=2x rarr a=1$.

Supponendo $x!=0$, dalla prima equazione viene $2ay^2=2-2a rarr y=+-sqrt((1-a)/a)$, che copre i casi in cui $ain(0,1)$.

Ponendo $a=0$ si ha la soluzione $(0, 0)$ quindi per tale $a$ \(\mathbf{0}\) è un punto stazionario.

Manca il caso in cui $ain(1, +oo)$. Non saprei come arrivarci però...

Non so se ho scritto delle boiate, più che altro mi sembra di stare procedendo un po' randomly...

[Luca.Lussardi]

Se $a$ è non negativo la seconda equazioni ha solo la soluzione $y=0$.