Estremi di una funzione di due variabili
Determinare gli estremi liberi della funzione $f(x,y)=x^2(x-y)$
Dunque gli estremi sono tutti i punti del tipo (0,a) dove a è un reale qualunque. L'hessiano risulta semidefinito positivo/negativo per gli a negativi/positivi ed è nullo per a=0. Come faccio a capire di che tipo di estremi si tratta?
Dunque gli estremi sono tutti i punti del tipo (0,a) dove a è un reale qualunque. L'hessiano risulta semidefinito positivo/negativo per gli a negativi/positivi ed è nullo per a=0. Come faccio a capire di che tipo di estremi si tratta?
Risposte
Quanto vale la funzione in (0,a)?
Dove è positiva/negativa la tua funzione?
Dove è positiva/negativa la tua funzione?
f(0, a)=0
Io distinguerei 3 casi:
i) y=0. $f(h_1, h_2)-f(0,0)= (h_1)^2(h_1-h_2)$ e quindi è sella perchè in un intorno circolare trovo punti in cui $f(h_1, h_2)>f(0,0)$ e altri in cui vale la disuguaglianza opposta.
ii) y>0. $f(h_1, h_2+y)-f(0,0)= (h_1)^2(h_1-h_2-y)$ e quindi per $(h_1, h_2)->(0,0)$ vale la disuguaglianza $f(h_1, h_2)
iii)y<0. Vale la disuguaglianza opposta e il punto è di minimo.
I max/min sono locali perchè la funzione può andare a $+\infty$ e $-\infty$ e deboli perchè ci sono $(h_1, h_2) \in RR^2$ e diversi dall'origine in cui valgono solo le disuguaglianze deboli.
ok o sbaglio qualcosa?
Io distinguerei 3 casi:
i) y=0. $f(h_1, h_2)-f(0,0)= (h_1)^2(h_1-h_2)$ e quindi è sella perchè in un intorno circolare trovo punti in cui $f(h_1, h_2)>f(0,0)$ e altri in cui vale la disuguaglianza opposta.
ii) y>0. $f(h_1, h_2+y)-f(0,0)= (h_1)^2(h_1-h_2-y)$ e quindi per $(h_1, h_2)->(0,0)$ vale la disuguaglianza $f(h_1, h_2)
iii)y<0. Vale la disuguaglianza opposta e il punto è di minimo.
I max/min sono locali perchè la funzione può andare a $+\infty$ e $-\infty$ e deboli perchè ci sono $(h_1, h_2) \in RR^2$ e diversi dall'origine in cui valgono solo le disuguaglianze deboli.
ok o sbaglio qualcosa?
"Mondo":ok, anche se un disegno è meno "pedantic"
ok o sbaglio qualcosa?
Già che ci sono faccio una domanda...
Se avessi voluto arrivare allo stesso risultato analizzando i differenziali successivi come avrei potuto fare?
Se avessi voluto arrivare allo stesso risultato analizzando i differenziali successivi come avrei potuto fare?
Provo ad esemplificare quanto detto sopra:
Determinare la natura dell'origine per $f(x,y)=log(1+x^2)-x^2+xy^2+y^3+2$
Qui un procedimento come quello usato per la funzione precedente non funziona facilmente. L'hessiano è nullo, quindi non posso dedurre niente. Calcolo il differenziale terzo, ottenendo la seguente espressione: $d^3f(0,0)=6(h_2)^2(h_1+h_2)$
Posso dedurre che è una sella dal fatto che questo differenziale cambia segno per differenti scelte di $(h_1, h_2)$ (piccoli a piacere, come sempre)?
Determinare la natura dell'origine per $f(x,y)=log(1+x^2)-x^2+xy^2+y^3+2$
Qui un procedimento come quello usato per la funzione precedente non funziona facilmente. L'hessiano è nullo, quindi non posso dedurre niente. Calcolo il differenziale terzo, ottenendo la seguente espressione: $d^3f(0,0)=6(h_2)^2(h_1+h_2)$
Posso dedurre che è una sella dal fatto che questo differenziale cambia segno per differenti scelte di $(h_1, h_2)$ (piccoli a piacere, come sempre)?
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