Estremi di un un insieme

[giovanta-votailprof]

Trovare estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di $E={x in RR : x = (-1)^n 1/(n^2 + 1) , n in NN}$

Il libro dice che supE=maxE=1 ma se così fosse significa che $n=0$ perchè $(-1)^n 1/(0 + 1) = 1$

ma $0$ non $in NN$ , quindi il max dovrebbe essere $1/4$. Al limite 1 potrebbe essere l'estremo superiore ma non il massimo, o mi sbaglio?


Inoltre, come si trovano sup, inf, max e min di $A = { x in RR : x = sin n , n in NN } , B={x in RR : x = sin^2n,n in NN} , C={x in RR : x = \alpha\beta, 0<\alpha<2,-1<\beta<2,\alpha+\beta<=3}$ ?

P.S. Se un insieme è limitato infermiormente ma non superiormente, esempio $(1, +oo)$, è lecito dire che supE=$+oo$ o è meglio dire che $nexists$ supE ?

[gugo82]

"giovanta":Trovare estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di $E={x in RR : x = (-1)^n 1/(n^2 + 1) , n in NN}$

Il libro dice che $"sup"E=maxE=1$ ma se così fosse significa che $n=0$ perchè $(-1)^n 1/(0 + 1) = 1$

ma $0$ non $in NN$ , quindi il max dovrebbe essere $1/4$. Al limite 1 potrebbe essere l'estremo superiore ma non il massimo, o mi sbaglio?

Anche per questo ci sono due scuole di pensiero: quelli che pensano $0\in NN$ e quelli che $0\notin NN$.
Si vede che chi ha scritto gli esercizi era della prima scuola.

"giovanta":Se un insieme è limitato infermiormente ma non superiormente, esempio $(1, +oo)$, è lecito dire che $"sup"E=+oo$ o è meglio dire che $nexists "sup"E$ ?

Per definizione, se un insieme $E$ non è limitato superiormente si pone $"sup" E=+oo$; analogamente, se $E$ non è limitato inferiormente si pone $"inf" E=-oo$.

[giovanta-votailprof]

Altri dubbi riguardo alcuni esercizi di questo tipo.

Indicare se $E_N={4
L'unico numero naturale che soddisfa quella proprietà è 3. Quindi $E_N={3}$
Dato che è composto da un unico elemento ha senso definirlo limitato e dire che supE=infE=maxE=minE=3 ?

Stesso esercizio ma con l'insieme $E_Q={4 Quindi i numeri razionali che soddisfano tale proprietà sono $-sqrt10<=x<-2$ e $ 2 E' giusto dire che l'insieme è limitato in questo intervallo (e ha come sup $sqrt10+epsilon$ e inf $-sqrt10-epsilon$, che max=$sqrt10$ e min $-sqrt10$?

Cosa cambierebbe nel caso $x in RR$?

[gugo82]

"giovanta":Altri dubbi riguardo alcuni esercizi di questo tipo.

Indicare se $E_NN={4
L'unico numero naturale che soddisfa quella proprietà è 3. Quindi $E_NN=\{3\}$
Dato che è composto da un unico elemento ha senso definirlo limitato e dire che $"sup"E_NN="inf"E_NN=maxE_NN=minE_NN=3$?

Quando hai questi dubbi, vatti a riguardare le definizioni.

"giovanta":Stesso esercizio ma con l'insieme $E_QQ={4 Quindi i numeri razionali che soddisfano tale proprietà sono $-sqrt10<=x<-2$ e $ 2 E' giusto dire che l'insieme è limitato in questo intervallo (e ha come sup $sqrt10+epsilon$ e inf $-sqrt10-epsilon$, che max=$sqrt10$ e min $-sqrt10$?

Perchè, ti risulta che $sqrt(10)$ sia razionale?

Visto che $QQ\subseteq RR$ e che $<=$ si estende naturalmente da $QQ$ a $RR$ (o viceversa... dipende da quale insieme hai costruito prima), puoi valutare $"sup"E,\ "inf"E,\ max E,\ min E$ sia considerando $E\subseteq QQ$ sia considerando $E\subseteq RR$ ed in generale i valori cambiano (ad esempio, se esiste $max E$ in $RR$ può non esistere né $max E$ né $"sup" E$ in $QQ$).

Esempio classico: $E=\{ x\in QQ:\ x >= 0 " e " x^2<=2\}$ se considerato come sottoinsieme di $RR$ ha $"inf"E=0=min E$, $"sup" E=sqrt(2)$ e non ha massimo (perchè?); tuttavia se si considera $E$ come sottoinsieme di $QQ$ si ha $minE=0="inf"E$ epperò $"sup"E$ non esiste e a maggior ragione non esiste $maxE$ (perchè?).

Una regola un po' generale per queste cose c'è e si basa sul fatto che l'ordine di $RR$ è un'estensione dell'ordine di $QQ$.
Invero:

"Se $E\subseteq QQ$ ha minimo, oppure massimo, ovvero estremo inferiore od estremo superiore in $QQ$, allora $E$ considerato come parte di $RR$ ha lo stesso minimo, oppure lo stesso massimo, ovvero lo stesso estremo inferiore o estremo superiore."

L'esempio precedente mostra che non vale il viceversa.