Estremi di integrazione

[Chicco_Stat_1]

Carissimi tutti,

eccomi di nuovo con un dubbio che, spero, potrete aiutarmi a dipanare.

Sto avendo delle difficoltà ad esprimere gli estremi di integrazione per un integrale di superficie.

La (iper)superficie su cui voglio integrare è un iperpiano in $\mathbb{R}^n$, parametrizzato come

$x_1=u_1, x_2=u_2, ..., x_{n-1}=u_{n-1}, x_n = n - \sum_{k=1}^{n-1}u_k$.

Non mi interessa tutto questo iperpiano, ma solo la parte contenuta in $[0,d_1]\times[0,d_2]\times...\times[0,d_n]$, con $\mathbf{d}=(d_1,...,d_n)\in\mathbb{R}^{n+}$.

Come posso scrivere gli estremi di integrazione in funzione dei $d_k$ per un $n$ generico?

Ho provato a farlo per $n=2$, la parametrizzazione sulla curva di interesse sarebbe

$x_1=u, x_2=2-u$

e, considerando i vincoli sui $d_k$, ottenuto $\int_{max(0,2-d_2)}^{min(2,d_1)} \varphi(u)du$ che dovrebbe considerare tutte le possibili situazioni.

Già per $n=3$ sto avendo problemi.. la parametrizzazione in questo caso sarebbe

$x_1=u_1, x_2=u_2, x_3=n-u_1-u_2$

e qui mi blocco.. idealmente è possibile esprimere questo integrale (e quelli successivi) come somma di integrali definiti su pezzi di domini normali rispetto agli assi, ma in termini generali come posso esprimere, in funzione dei $d_k$, dove questo sotto-domini vadano 'tagliati'?

Ho provato ad andare ad intuito rappresentando graficamente un po' di situazioni, ma non approdo a nulla se non caso specifico per caso specifico..

Any suggestion?

[anonymous_af8479]

Con un rapido calcolo mattutino avrei trovato questa formula:

$int_{varietà} f(u_1, u_2, ..., u_{n-1}) d \Omega = sqrt(n) int_{D_1 xx D_2 xx ... xx D_{n-1}} f(u_1, u_2, ..., u_{n-1}) du_1 du_2 ... du_{n-1}$ .

Resterebbero da determinare gli intervalli $D_j$ ...

ps. $d \Omega = sqrt{det(g_{ij})} du_1 du_2 ... du_{n-1}$, essendo $g_{ij}$ il tensore metrico della varietà.

Il coefficiente $sqrt(n)$ è la radice del determinante di matrici $(n-1) xx (n-1)$ che hanno la diagonale principale composta da $2$ e gli altri elementi uguali a $1$.

[Quinzio]

$\int_(max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_3-d_2))^(min(2,d_1))\f_a(u_2,u_3,...,u_n) \ du_1$

Per chiarezza di lettura gli estremi sono

$min(2,d_1)$

$max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_3-d_2)$

----------------------------------------------------------
La funzione $f_a$ contiene tutti gli integrali interni...

$f_a(u_2,u_3,...,u_n)=$

$=\int_(max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_4-d_3))^(min(2-u_1,d_2))\f_b(u_3,u_4...,u_n) \ du_2$

di estremi

$min(2-u_1,d_2)$

$max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_4-d_3)$

----------------------------------------------------------
La funione $f_b$

$f_b(u_3,u_4,...,u_n)=$

$=\int_(max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_5-d_4))^(min(2-u_1-u_2,d_3))\f_c(u_4,u_5...,u_n) \ du_3$

di estremi

$min(2-u_1-u_2,d_3)$

$max(0,n-d_(n)-d_(n-1)-...-d_5-d_4)$

eccetera fino ad esaurimento delle dimensioni.

Con l'accortezza che se in qualunque integrale $\int_a^b$ si verifica che $b Quest'ultima condizione fa si che il tutto non si possa valutare per via analitica (come del resto hai già capito ) ma solo valutando volta per volta gli estremi, anche attraverso l'aiuto di un calcolatore.

Prendi il tutto con le molle perchè non sono per niente sicuro che sia corretta.
Il concetto generale dovrebbe funzionare, in ogni caso.
Guardala un po' poi dimmi cosa ne pensi.

[anonymous_af8479]

Vorrei sottolineare il fatto che, secondo me, il problema esposto da Chicco è in verità duplice. Come eseguire l'integrale sulla varietà (che introduce il coefficiente $sqrt(n)$) e come trovare gli estremi di integrazione dell'integrale multiplo risultante (risolto da Quinzio).

Dico bene?

[Chicco_Stat_1]

Intanto vorrei ringraziarvi moltissimo, cari Arrigo e Quinzio, per le vostre risposte!

@anonymous_af8479: il tuo risultato mi conforta, avendo derivato il fattore $\sqrt(n)$ anch'io come te, grazie!

@Quinzio: è possibile, per i miei fini, riordinare gli elementi del vettore $\mathbf{d}=(d_1,...,d_n)'$ in senso crescente, di modo cioé da ottenere un nuovo vettore $\mathbf{\tilde{d}}=(d_{(1)},...,d_{(n)})'$ aventi gli elementi di $\mathbf{d}$ ma tali da aversi $d_{(k)}\leqd_{(k+1)}$.

Questo risolverebbe il problema cui accenni?

Inoltre non mi è chiaro perché nelle funzioni $f_a,f_b,f_c...$ che definisci scompaia la variabile di integrazione nell'argomento.. così non diventano funzioni costanti rispetto alla stessa?

EDIT: precisazione - comprendo che non possa trovarsi la stessa variabile sia in argomento che negli estremi di integrazione, ma così non hai ridotto la dimensionalità di queste funzioni?

[Chicco_Stat_1]

Provo a buttar giù una proposta di soluzione alla luce di quanto mi avete detto..

Così ad una prima ispezione, seguendo il ragionamento di Quinzio (spero!), e volendo calcolare l'integrale multiplo si avrebbe una successione indicizzata da $j=1,...,n-1$ di estremi di integrazione fatta così:

$\int_{max(0,n-\sum_{k=2}^n d_k)}^{min(n,d_1)}$ per $j=1$

$\int_{max(0, n - \sum_{k=j+1}^n d_(k))}^{min(n-\sum_{k=1}^{j-1} u_k,d_j)}$ per $j=2,...,n-1$.

Così da avere, ad esempio:

$n=2$

$\sqrt(2)\int_{max(0,2-d_2)}^{min(2,d_1)}\varphi(u_1)du_1$

$n=3$

$\sqrt(3)\int_{max(0,3-d_2-d_3)}^{min(3,d_1)}\int_{max(0,3-d_3)}^{min(3-u_1,d_2)}\varphi(u_1,u_2)du_2 du_1$

$n=4$

$\sqrt(4)\int_{max(0,4-d_2-d_3-d_4)}^{min(4,d_1)}\int_{max(0,4-d_3-d_4)}^{min(4-u_1,d_2)}\int_{max(0,4-d_4)}^{min(4-u_1-u_2,d_3)}\varphi(u_1,u_2,u_3)du_3du_2du_1$

etc...

Che dite?

[anonymous_af8479]

La definizione degli estremi di integrazione è complicata e ... noiosa. Perchè non addomesticare la funzione integranda $f(u_1, ... , u_{n-1})$ ?

Introduciamo la:

$F(u_1, ... , u_{n-1}) = f(u_1, ... , u_{n-1})$ se $0 n - u_1 - ... - u_{n-1} > 0$

e nulla altrove.

Allora la soluzione si ridurrebbe a:

$sqrt(n) int_0^{d_1} ... int_0^{d_{n-1}} F(u_1, ... , u_{n-1}) d u_1 ... d u_{n-1}$.

Funzionerà ?

[Quinzio]

"Chicco_Stat_":Intanto vorrei ringraziarvi moltissimo, cari Arrigo e Quinzio, per le vostre risposte!

@anonymous_af8479: il tuo risultato mi conforta, avendo derivato il fattore $\sqrt(n)$ anch'io come te, grazie!

@Quinzio: è possibile, per i miei fini, riordinare gli elementi del vettore $\mathbf{d}=(d_1,...,d_n)'$ in senso crescente, di modo cioé da ottenere un nuovo vettore $\mathbf{\tilde{d}}=(d_{(1)},...,d_{(n)})'$ aventi gli elementi di $\mathbf{d}$ ma tali da aversi $d_{(k)}\leqd_{(k+1)}$.


Questo risolverebbe il problema cui accenni?

Ripensandoci meglio il problema non si pone neanche, perchè gli estremi valutati come $max - min(...,...)$ fanno già in modo che gli integrali "spazzolino" delle zone dove l'iperpiano apprtiene al dominio. Quindi nessun problema.
EDIT: Spiego meglio:
una volta "scritti" tutti i $d_1, d2_, ..., d_n$. Se uno degli integrali ha $b I $d_1, d2_, ..., d_n$ vanno scritti in senso decrescente: se prendi il caso n=4 come esempio

$\sqrt(4)\int_{max(0,4-d_2-d_3-d_4)}^{min(4,d_1)}\int_{max(0,4-d_3-d_4)}^{min(4-u_1,d_2)}\int_{max(0,4-d_4)}^{min(4-u_1-u_2,d_3)}\varphi(u_1,u_2,u_3)du_3du_2du_1$

ha che gli estremi inferiori degli integrali crescono man mano che li scorri da sinistra verso destra leggendo la formula.
Quindi l'integrale $\int_a^b$ che più rischia di avere $b E per cercare di evidenziare subito questo problema dovremo scrivere $d_1, d2_, ..., d_n$ in modo che $d_3, d_4$ siano i più piccoli, quindi $d_1, d2_, ..., d_n$ vanno ordinati in senso decrescente.

Inoltre non mi è chiaro perché nelle funzioni $f_a,f_b,f_c...$ che definisci scompaia la variabile di integrazione nell'argomento.. così non diventano funzioni costanti rispetto alla stessa?

EDIT: precisazione - comprendo che non possa trovarsi la stessa variabile sia in argomento che negli estremi di integrazione, ma così non hai ridotto la dimensionalità di queste funzioni?

Infatti ero dubbioso su come scrivere esattamente la formula, ma vedo che hai capito benissimo il concetto che ci stà dietro. Non sono del tutto in grado di scrivere formule matematiche in modo del tutto rigoroso....
La mia fomula voleva mettere in evidenza che quell' $f_a$ ad esempio contiene tutti gli integrali più interni.
Del resto avevo anche lasciato un "2" da sostituire con un "n" come hai giustamente fatto.

Ottima anche la nota sul fattore $\sqrtn$ che sarebbe la lunghezza del vettore normale all'iperpiano (concetto anche questo espresso in modo poco rigoroso ).

[Quinzio]

"anonymous_af8479":Allora la soluzione si ridurrebbe a:

$sqrt(n) int_0^{d_1} ... int_0^{d_{n-1}} F(u_1, ... , u_{n-1}) d u_1 ... d u_{n-1}$.

Funzionerà ?

Salve arrigo.

Temo che non ci sia modo di liberarsi di quegli estremi così antipatici e provo a spiegare perchè con un esempio.
Immagina la situazione tridimensionale, quindi con n=3.
Immagina che gli estremi siano molto piccoli cioè il dominio sia $[0,1/(10)]"x"[0,1/(10)]"x"[0,1/(10)]$. e il nostro piano ha equazione $x+y+z-3=0$.

Il nostro dominio è un cubetto di lato $1/(10)$ e quindi non arriva mai ad intersecare il piano. quindi l'integrale deve necessariamente dare zero (oppure non determinato) come risultato. Ma come l'hai scritto tu restituisce comunque un valore, sia che il piano intersechi il dominio, sia che non lo faccia.

[anonymous_af8479]

Caro Quinzio,

la mia $F$ nel tuo cubetto risulterebbe nulla, quindi non darebbe contributi all'integrale.

Infatti:

$0 < u_1 < 1/10$

$0 < u_2 < 1/10$

$0 < 3 - u_1 - u_2 < 1/10$

non sarebbero tutte soddisfatte. Giusto ?

[anonymous_af8479]

ps.

La spiegazione della mia idea è la seguente.

Siccome deve valere:

$0 < x_j < d_j$ con $j = 1, ..., n$ ,

dovrà essere:

$0 < u_j < d_j$ con $j = 1, ..., n -1 $ e $0 < x_n < d_n$

ovvero

$0 < u_j < d_j$ con $j = 1, ..., n -1 $ e $0 < n - u_1 - ... - u_{n-1} < d_n$ .

Questa è la condizione per cui un punto della varietà lo dobbiamo prendere.

La funzione $F$ è ugule a $f$ solo in quei punti ed altrove è $0$, qindi il mio trucco sembrerebbe funzionare ...

[Quinzio]

Mi sembra che non sia chiaro il problema in se.
Forse sono io che non l'ho capito, e in questo caso gradirei che me lo si facesse notare.

Provo a enunciarlo in parole povere, senza troppi indici e pedici che confondono spesso le idee.

Ho uno spazio a molte dimensioni.
In questa spazio vado a definire una funzione, definita su tutto lo spazio, per semplicità.
Dichiaro che voglio integrare la funzione solo su un iperpiano, che ha una dimensione in meno dello spazio, iperpiano che è definito bene nel primo post.
In aggiunta definisco un iper-parallelepipedo (definito dall'origine e con tutte coordinate positive) , e voglio che la funzione sia integrata solo nella porzione di iperpiano che "taglia" il parallelepipedo multidimensionale.

Ok, questo è ciò che ho capito.

Detto questo, facciamo un esempio con n=3, quindi ancora visualizzabile.
Se come parallelelpipedo prendo un cubo di lato $1+1/10$ è abbastanza chiaro che solo una "piccola" parte del cubo è tagliata dal piano, dividendo il cubo in una grossa parte e in un piccola parte, che sarebbe il vertice opposto all'origine, una specie di piramide piccola.
Ora, se voglio integrare su questa piccola piramide è chiaro che gli estremi non possono iniziare da zero.

Inoltre gli estremi che ho dato prima non vanno bene, sono ancora più complicati purtroppo.

Non è facile avere una comprensione chiara di questi estremi, e una volta definiti vanno validati con diversi esempi e contro esempi.

[anonymous_af8479]

Certo, Quinzio, d'accordo. Però, per evitare la complicata definizione degli estremi di integrazione, io sposto la complicazione sulla funzione integranda $f$ trasformandola in quella $F$ che ho definito qualche post fa e che riposto per chiarezza.

Introduciamo la:

$F(u_1, ... , u_{n-1}) = f(u_1, ... , u_{n-1})$ se $0
e nulla altrove.

Allora la soluzione si riduce a:

$sqrt(n) int_0^{d_1} ... int_0^{d_{n-1}} F(u_1, ... , u_{n-1}) d u_1 ... d u_{n-1}$.

Così, se non ho preso un abbaglio, il problema diventa banale ...

[Quinzio]

Beh, non hai preso un abbaglio, in questo modo diventa facile enunciare il problema però quando poi vai a risovere un problema numerico, questa funzione che è definita "a tratti" credo che dia molti problemi.
Il vantaggio di definire esattamente gli estremi è che dopo l'integrale diventa facilmente risolvibile (a patto che siano tutte funzioni integrabili in modo elementare).

Se ad esempio ho la funzione definita così: $f(x)= 1$ se $x\in [1,2]$ e zero altrove, e chiedo di integrarla da 0 a 10, qualunque matematico alla fine risolve questo integrale: $\int_1^2 dx$ e non questo $\int_0^10 dx$.

Oppure comincia col secondo, poi lo spezza in più parti per integrare funzioni elementari, eccetera.
Tu mi proponi la seconda via, e mi può stare bene, ma poi so che alla fine ci si deve porre il problema di definire esattamente gli estremi.
Per cui il problema vero è solo posticipato, non risolto.

[anonymous_af8479]

Giustissima osservazione, Quinzio!

Sai, come fisico, immagino che la funzione non sia elementare per cui mi viene spontaneo di dare tutto in pasto ad un computer ... Magari Chicco, essendo uno statistico, dovrà fare la stessa cosa ...

[Chicco_Stat_1]

Che discussione che ne è nata! ^_^

Qualche considerazione.

"Quinzio":
Ripensandoci meglio il problema non si pone neanche, perchè gli estremi valutati come $max - min(...,...)$ fanno già in modo che gli integrali "spazzolino" delle zone dove l'iperpiano apprtiene al dominio. Quindi nessun problema.
EDIT: Spiego meglio:
una volta "scritti" tutti i $d_1, d2_, ..., d_n$. Se uno degli integrali ha $b

Il fatto di avere $d_k\in [1,\infty) \forall k=1,...,n$ implica che $\sum_{k=1}^n d_k \geq n$, questo non garantisce che ci sarà sempre almeno un punto in cui l'intersezione esiste?

"Quinzio":
I $d_1, d2_, ..., d_n$ vanno scritti in senso decrescente: se prendi il caso n=4 come esempio

$\sqrt(4)\int_{max(0,4-d_2-d_3-d_4)}^{min(4,d_1)}\int_{max(0,4-d_3-d_4)}^{min(4-u_1,d_2)}\int_{max(0,4-d_4)}^{min(4-u_1-u_2,d_3)}\varphi(u_1,u_2,u_3)du_3du_2du_1$

ha che gli estremi inferiori degli integrali crescono man mano che li scorri da sinistra verso destra leggendo la formula.
Quindi l'integrale $\int_a^b$ che più rischia di avere $b E per cercare di evidenziare subito questo problema dovremo scrivere $d_1, d2_, ..., d_n$ in modo che $d_3, d_4$ siano i più piccoli, quindi $d_1, d2_, ..., d_n$ vanno ordinati in senso decrescente.

Questo, come ti dicevo, è possibile farlo. Ma mi domando una cosa: dovrei cambiare l'ordinamento anche degli $u$? oppure essendo parametrizzazioni conseguenti alla conoscenza del vettore $d$ non cambierebbe nulla?

"Quinzio":
[...]
Detto questo, facciamo un esempio con n=3, quindi ancora visualizzabile.
Se come parallelelpipedo prendo un cubo di lato $1+1/10$ è abbastanza chiaro che solo una "piccola" parte del cubo è tagliata dal piano, dividendo il cubo in una grossa parte e in un piccola parte, che sarebbe il vertice opposto all'origine, una specie di piramide piccola.
Ora, se voglio integrare su questa piccola piramide è chiaro che gli estremi non possono iniziare da zero.

Attenzione che io non voglio integrare sulla piramide, l'integrazione sarà sempre e solo sulla porzione di iperpiano staccata dall'intersezione dell'iperparallelepipedo con la regione definita da $\sum_{k=1}^n x_k=n$

"Quinzio":
Inoltre gli estremi che ho dato prima non vanno bene, sono ancora più complicati purtroppo.

Mi spiegheresti? a me sembrava filassero!


Provo ad allegare una foto di un foglio dove ho fatto qualche schizzo, per $n=2$ (in alto a sinistra) ed $n=3$ (altri tre disegni) di come dovrebbe venire la linea/superficie su cui integrare (evidenziata in rosso) al variare dei valori di $d_k$ (che sul foglio sono chiamati $pi^{-1}_k$, mentre gli assi $x_k$ sono $s_k$), ditemi se secondo voi hanno senso!

https://dl.dropbox.com/u/15045371/IMAG2357.jpg


Riprendendo quanto detto da Arrigo, hai perfettamente ragione. La funzione da integrare alla fine della fiera è tutto meno che elementare, dubito esista una soluzione analitica in forma chiusa di detto integrale e dovrò senz'altro appoggiarmi ad un approccio numerico, o addirittura linearizzarla, se $n$ diventa troppo elevato. Ciò detto, mi serviranno comunque gli estremi esatti di integrazione per poter implementare il calcolo, mi sbaglio?

All in all, grazie mille a tutti e due dei preziosi contributi! E pensare che questo problema l'altra settimana mi sembrava una 'cosa banale, ci saran da sistemare gli estremi di integrazione ma è tutto piatto, che volete che sia'

[anonymous_af8479]

Ottimo. allora!

Secondo me, Chicco, il mio metodo, senza togliere nulla all'altro, mi sembra più semplice per il caso tuo!

Sei in una matrice tipo $u_{ij}$ ? Allora, in ogni punto $u_{ij}$, ti calcoli la f e poi la F, applicando le definizioni che danno la F. Poi sommi ...

Usi Gauss o Monte Carlo, o altro ? Quanto vale $n$ ?

[Chicco_Stat_1]

Hai colto un altro aspetto del problema di cui mi son reso conto solo ieri, caro Arrigo.

L'integrale in questione potrebbe comodamente essere dell'ordine di centinaia di dimensioni.

I metodi numerici 'standard' limitano a non più di 40 dimensioni (che io sappia), visto che dopo l'errore di integrazione (ed il peso di calcolo) diventano esagerati.

Userei Monte Carlo, ma devo ancora studiare i dettagli della cosa. Prima, appunto, mi premeva riuscire a capire bene questi estremi di integrazione!

La soluzione che proponi tu permetterebbe di prescindere dalla definizione di detti estremi, è corretto?

[anonymous_af8479]

Sì, Chicco. Gli estremi sono $[0 , d_j]$. E' la F che, annullandosi dove non ti interessa, sistema tutto ...

Io userei Gauss (quando ci lavoravo io ne ero entusiasta), se i $d_j$ (eh eh suona "digei" ...) non sono grandi, con pochi punti di Gauss per intervallo hai convergenze ottime ...

[Chicco_Stat_1]

I 'diggei' possono assumere valori in $[1,+\infty)$ (sono inversi di probabilità su $(0,1]$)..

Vedremo! farò qualche prova, grazie ancora!

[anonymous_af8479]

Allora Hermite o simili ?