Estremi di integrale curvilineo

[Silence1]

Buonasera, ho qui un esercizio su cui ho un solo dubbio:

Data $f(x,y)=(xy)/sqrt(4+x^2)$

e la curva $gamma$ identificata come il bordo di $E$:
$gamma=partialE={(x,y): x>=0;x^2+y^2>=1;0<=y<=1-x^2/4}$

calcolare $int_gammaf(x,y)ds$

Ho separato $gamma$ in tre parti (seguendo le condizioni imposte da $E$):

$gamma_1$) l'asse x $ { ( x=t ),( y=0 ):}$
$gamma_2$) la circonferenza centrata nell'origine di raggio 1 $ { ( x=cost ),( y=sint ):}$
$gamma_3$) la funzione $ { ( x=t ),( y=1-t^2/4 ):}$



E idealmente la conclusione dovrebbe essere $int_gammaf(x,y)ds=int_(gamma_1)f(x,y)ds+int_(gamma_2)f(x,y)ds+int_(gamma_3)f(x,y)ds$

Arrivato qui a fermarmi è un problema probabilmente banale: da dove prendo gli estremi di integrazione per ciascuna curva? Disegnando le tre funzioni vedo che i punti "interessanti" hanno ascisse 0, 1 e 2, ma non so capisco come ricavare matematicamente gli estremi.
Grazie!

[cooper1]

io direi:
1) da 1 all'intersezione tra l'asse x e la curva $1-x^2/4$
2) poi da questo punto all'intersezione tra questa curva e la circonferenza
3) infine da questo punto ad 1
(nelle intersezioni consideri eventualmente quella che si trova nel primo quadrante)
in 1) se sull'asse x, in 2) sei sulla curva e in 3) sei sulla circonferenza

[Mathita]

Ciao Silence,

credo che qui il problema sia trovare gli intervalli di variazione del parametro $t$ nelle varie parametrizzazioni dei tratti del bordo. Se hai fatto un buon disegno (come credo, visto che hai individuato correttamente le ascisse dei "punti interessanti"), puoi tranquillamente estrapolare graficamente i vari intervalli.

Ad esempio: tu hai parametrizzato la parabola $y=1-x^2/4$ in maniera naturale come

$\gamma_3(t)={(x=t),(y= 1-t^2/4):}$

Poiché nel grafico, $x$ varia tra 0 e 2, a causa dell'uguaglianza $t=x$ anche $t$ varia tra 0 e 2.

Allo stesso modo puoi procedere per il segmento $\gamma_1(t)$, scoprirai che in questa occasione $t\in [1,2]$. Per quanto riguarda la circonferenza, sempre dal grafico capiamo che abbiamo bisogno esclusivamente dei punti che giacciono nel primo quadrante, conseguentemente $t\in [0,\pi/2]$. Osserva che è possibile procedere algebricamente, però i calcoli diventerebbero abbastanza noiosi.

[Silence1]

Perfetto, quindi alla fine mi conviene comunque passare per il grafico. Provo a impostare anche le intersezioni come consigliato, vediamo se ne esce qualcosa di coerente.

Grazie mille a entrambi, buona eclissi

[cooper1]

"Mathita":x varia tra 0 e 2

secondo me tra 1 e 2
per la circonferenza in effetti invece, parametrizzando in polari, è ovviamente necessario l'angolo.
edit: avessi letto meglio il post era meglio, pardon!