Estremi coordinate polari per integrale doppio

[MaledettaAnalisiXD]

$ intint (x^2+y^2)dxdy$

$D={(x-2)^2+y^2=4; y>=0}$

da svolgere in coordinate polari.




Dunque il dominio è una mezza circonferenza centrata in $(2,0) $ di raggio due.

Dunque la sostituzione va fatta cosi: ${(x=2+rho costheta), (y=rhosentheta):}$

$int int rho[ (4+2rhocostheta+rho^2costheta^2)+(rho^2sentheta^2)] drho d theta $

che diventa $int int (4rho) drho d theta + int int (2rho^2costheta) drho d theta + int int (rho^3) drho d theta$

svolgo i primi integrali ottenendo: $int (2rho^2)]_{0}^{2} d theta + int costheta2/3(rho^3)]_{0}^{2} d theta + int (rho^4/4)]_{0}^{2} d theta$

$=int 8 d theta + int 16/3 costheta d theta + int 4 d theta=$

$=8 theta]_{0}^{pi} + 16/3 sentheta ]_{0}^{pi} + 4 theta ]_{0}^{pi}=$

$8pi+4pi= 12pi$

[Demostene92]

Il raggio della (semi)circonferenza è $R=2$, quindi $\rho \in [0,2]$.

[MaledettaAnalisiXD]

ora ho un dubbio... il risultato che ho ottenuto è la mezza circonferenza o la circonferenza intera (e quindi il risultato va diviso per 2)???

[Cancer_309]

la condizione \(\mathrm{y \geq 0}\) diventa col cambio di coordinate \(\mathrm{ sin(\theta) \geq 0}\) e quindi \(\mathrm{\theta \in [0, \pi]}\) ... pochè l'integrale in \(\mathrm{\theta}\) è stato fatto tra \(\mathrm{0}\) e \(\mathrm{\pi}\) non devi dividere nulla per \(\mathrm{2}\) perchè questa condizione tiene già di per se conto che stai integrando su una semicirconferenza

[MaledettaAnalisiXD]

ok come immaginavo, la mia domanda è nata dal fatto che "mi erano giunte voci" sul fatto che il risultato fosse in realta $6pi$

c'è qualcuno che ha voglia di ricontrollare i passaggi?

grazie