Estremi assoluti vincolati

[freekiller]

$ y^2 = (2+- sqrt2)/4 . $Ciao a tutti, ho questo problema:
Sia $ f(x,y) =x^2+ 5y^2−1/2xy. $
Determinare gli estremi assoluti di $ f $ al variare di $ (x,y) $ nell’ellisse piena descritta da $ x^2+ 4y^2≤4. $

Nel precedente punto ho calcolato il minimo relativo in $ (0,0) .$

Per questo ho ristretto $ f $ alla prima metà dell'ellisse per $ x = 2 sqrt(1-y^2) $ e ho imposto $ fprime =0 $ ottenendo $ 2y*sqrt(1-y^2) = 1 -2y^2 .$

Provando a risolvere questa arrivo alla soluzione $ y^2 = (2+- sqrt2)/4 .$
Ora dovrei escludere una soluzione, quella che non soddisfa l'equazione sopra, ma con i risultati non mi trovo.
Dov'è l'errore?

[gugo82]

Beh, $x^2 + 5y^2 - 1/2 xy = (x-1/4 y)^2 + 79/16 y^2$, quindi $(0,0)$ è di minimo assoluto.

Per trovare gli estremi sulla frontiera, meglio parametrizzarla come $\{(x = cos theta), (y=1/2 sin theta):}$ con $0<= theta <= 2pi$ ottenendo la funzione ausiliaria:

$phi(theta) := f(x(theta),y(theta)) = cos^2 theta + 5/4 sin^2 theta - 1/8 cos theta sin theta =1 +1/4 sin^2 theta -1/16 sin (2theta)$

che si studia più o meno facilmente.

[freekiller]

Sono riuscito a concludere il mio procedimento trovando le soluzioni di $ fprime=0 $ in $ y_1 = 1/2sqrt(2-sqrt(2)) $ e $ y_2 = -1/2sqrt(2+sqrt(2)) $ di cui quella per il massimo è $ y_2 $ che porge come punto di massimo $ (sqrt(2-sqrt(2)),-1/2sqrt(2+sqrt(2))) $ . Per l'altro punto basta osservare la simmetria rispetto all'origine di $ f $ .

Del tuo procedimento ho capito la logica, ma non mi tornano i conti.
Grazie comunque!

[Mathita]

Prova con la parametrizzazione $x=2\cos(\theta); y=\sin(\theta)$ con $\theta\in [0,2\pi]$. Quella suggerita da Gugo parametrizza l'ellisse $x^2+4y^2=1$, se non sbaglio.

[gugo82]

@Mathita: Sì, avevo letto un $<=1$ nella traccia…

[freekiller]

Perfetto, ora mi torna tutto. Grazie a tutti!

[AlbyNF]

Mi riallaccio al quesito iniziale perchè non capisco dove sbaglio sebbene sia arrivato anch’io alla risoluzione con parametrizzazione. Allora:
Sostituisco $x=2cos\theta\ $ e $y=sin\theta\ $ in $f(x,y)$ e ottengo
$4cos^2\theta\+5sin^2 \theta\ -cos\theta\sin\theta\ $ poi lo derivo fino ad arrivare a
$sin(2 \theta\ )-cos(2 \theta\ )=0$
$\theta\ =pi/8 +kpi/2$.
Però già qui vedo che i miei risultati non coincidono e non riesco a capire dove sbaglio.

[gugo82]

Non coincidono con cosa?

[AlbyNF]

"gugo82":Non coincidono con cosa?

Scusami, non sono stato completo: questo è un esercizio d’esame e conosco solo la soluzione, ossia:

$MIN in (0,0);
MAX in (2cos(5/8π +kπ),sin(5/8π +kπ))=±(−sqrt(2−√2),1/2sqrt(2+√2)), per k ∈ Z $

Però non riesco a capire come giungere a quel risultato. Quindi o ho sbagliato io qualcosa oppure mi perdo qualche passaggio che sarà anche facile ma non vedo...

[AlbyNF]

Mi rispondo da solo visto che alla fine ho trovato l’errore: arrivavo al calcolo della disequazione
$sin(2x)-cos(2x)>0$
E semplicemente non ricordavo come si facesse correttamente, fino a ritrovare un post di @gugo82 che spiegava il metodo grafico che avevo completamente dimenticato.
Quindi grazie @gugo82!

[gugo82]

Figurati... Se ti va, linka pure il vecchio thread a beneficio degli utenti di passaggio.