Estremi assoluti in un insieme
Potete dirmi se ci sono errori?
Devo determinare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y) = 3x^4-4x^2y+y^2 $ nell'insieme $ G={(x,y)in R^2: x^2<=y<=1} $.
Divido l'insieme in due parti: i punti sopra la parabola (D1) e i punti lungo y=1, tali però che -1<=x<=1 (D2).
In D1 non ho punti in cui si annulla la derivata (si annulla solo in (0,0), che non è compreso nell'insieme G).
$ D_2={(x,y)in R^2| y=1, -1<=x<=1} $
Sostituisco in f:
$ f(x,1) = 3x^4-4x^2+1 $ con $ -1<=x<=1$
$ f'(x,1) = 12x^3-8x $ con $ -1<=x<=1$
Ottengo che $ f'(x,1)=0 $ quando $ x=0 $ e $ x= +- sqrt2/sqrt3 $.
Tutti e tre i punti $ P (0,1) $, $ Q ( sqrt2/sqrt, 1) $, $ R(- sqrt2/sqrt, 1) $ sono accettabili perché $ -1<=x<=1$.
Con lo studio della positività della derivata $( +- sqrt2/sqrt, 1) $ risultano punti di minimo, mentre $ (0,1) $ un punto di massimo.
Valuto la funzione f nei tre punti:
$ f(0,1) = 1 $
$ f(+- sqrt2/sqrt,1) = -1 $
Risulta quindi:
Q ed R = punti di minimo relativo nell'insieme G;
P = punto di massimo assoluto.
Devo determinare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y) = 3x^4-4x^2y+y^2 $ nell'insieme $ G={(x,y)in R^2: x^2<=y<=1} $.
Divido l'insieme in due parti: i punti sopra la parabola (D1) e i punti lungo y=1, tali però che -1<=x<=1 (D2).
In D1 non ho punti in cui si annulla la derivata (si annulla solo in (0,0), che non è compreso nell'insieme G).
$ D_2={(x,y)in R^2| y=1, -1<=x<=1} $
Sostituisco in f:
$ f(x,1) = 3x^4-4x^2+1 $ con $ -1<=x<=1$
$ f'(x,1) = 12x^3-8x $ con $ -1<=x<=1$
Ottengo che $ f'(x,1)=0 $ quando $ x=0 $ e $ x= +- sqrt2/sqrt3 $.
Tutti e tre i punti $ P (0,1) $, $ Q ( sqrt2/sqrt, 1) $, $ R(- sqrt2/sqrt, 1) $ sono accettabili perché $ -1<=x<=1$.
Con lo studio della positività della derivata $( +- sqrt2/sqrt, 1) $ risultano punti di minimo, mentre $ (0,1) $ un punto di massimo.
Valuto la funzione f nei tre punti:
$ f(0,1) = 1 $
$ f(+- sqrt2/sqrt,1) = -1 $
Risulta quindi:
Q ed R = punti di minimo relativo nell'insieme G;
P = punto di massimo assoluto.
Risposte
Sinceramente, non ho capito cosa hai fatto.
Hai disegnato $G$?
Hai disegnato $G$?
Sì.
E' la parte in rosso, e comprende y=1:
E' la parte in rosso, e comprende y=1:
Ah, bene.
E perché $(0,0)$ non apparterrebbe a $G$?
E perché $(0,0)$ non apparterrebbe a $G$?
Hai ragione.
Non so perché pensavo fosse $ x^2
In questo caso, (0,0) è punto di minimo per la funzione (l'avevo studiato in un altro punto dell'esercizio, in cui non specificava alcun insieme G).
Quindi nell'insieme G ho tre punti di minimo e uno di massimo?
Non so perché pensavo fosse $ x^2
In questo caso, (0,0) è punto di minimo per la funzione (l'avevo studiato in un altro punto dell'esercizio, in cui non specificava alcun insieme G).
Quindi nell'insieme G ho tre punti di minimo e uno di massimo?
Quando hai un insieme compatto $G$ con bordo “regolare” ed una funzione $f$ di classe $C^oo$ fin sulla frontiere dell’insieme (come quelli che ti hanno assegnato), lo studio degli estremi assoluti va fatto come segue:
- [*:3q3y55t4] si determinano i punti critici di $f$ interni a $G$ (quindi basta risolvere il sistema $nabla f(x) = mathbf(0)$ in $text(int) G$);
[/*:m:3q3y55t4]
[*:3q3y55t4] si determinano i punti critici di $f$ sui vari tratti “lisci” della frontiera di $G$;
[/*:m:3q3y55t4]
[*:3q3y55t4] si calcolano e si confrontano tra loro i valori assunti da $f$ in tutti i punti critici trovati e negli eventuali “spigoli” della frontiera;
[/*:m:3q3y55t4]
[*:3q3y55t4] i punti di massimo [risp. minimo] assoluto di $f$ in $G$ sono quelli che forniscono i valori di $f$ maggiori [risp. minori].[/*:m:3q3y55t4][/list:u:3q3y55t4]
Finora hai svolto il primo e metà del secondo punto; ti manca andare a guardare cosa accade su un tratto di frontiera (il tratto parabolico) e negli “spigoli” della frontiera (i punti $(+- 1, 1)$).
Okay, grazie.
Allora f(0,1)=1 è il massimo assoluto in G.
E dato che ho due punti nei quali f assume il valore -1 (minimi relativi) e un punto in cui assume il valore 0 (> -1), non ci sono minimi assoluti. (???)
Allora f(0,1)=1 è il massimo assoluto in G.
E dato che ho due punti nei quali f assume il valore -1 (minimi relativi) e un punto in cui assume il valore 0 (> -1), non ci sono minimi assoluti. (???)
Cosa dice il teorema di Weierstrass?
Che in questo caso esistono sempre un massimo e un minimo assoluto.
Devo controllare la frontiera e gli spigoli, scusa. Me lo avevi anche scritto.
Devo controllare la frontiera e gli spigoli, scusa. Me lo avevi anche scritto.
Che cos'è un massimo/minimo assoluto?
È quello che cerchi?
O, piuttosto, stai cercando i punti di massimo/minimo assoluto?
Che differenza c'è tra le due cose?
È quello che cerchi?
O, piuttosto, stai cercando i punti di massimo/minimo assoluto?
Che differenza c'è tra le due cose?
I punti di massimo/minimo assoluto sono punti del dominio in cui la funzione assume il suo massimo/minimo valore. Non sono la stessa cosa dei massimi/minimi assoluti.
Quindi posso direttamente dire che P è punto di massimo e Q, R punti di minimo in G?
Un'altra domanda: perché devo studiare gli spigoli in un caso a parte? Non appartengono alla retta y=1?
Quindi posso direttamente dire che P è punto di massimo e Q, R punti di minimo in G?
Un'altra domanda: perché devo studiare gli spigoli in un caso a parte? Non appartengono alla retta y=1?
"maxira":
I punti di massimo/minimo assoluto sono punti del dominio in cui la funzione assume il suo massimo/minimo valore. Non sono la stessa cosa dei massimi/minimi assoluti.
Appunto.
"maxira":
Quindi posso direttamente dire che P è punto di massimo e Q, R punti di minimo in G?
La funzione è pari rispetto ad $x$, quindi la presenza di due punti di minimo simmetrici non è strana.
E sì, i punti che hai trovato sono quelli di estremo assoluto che ti servivano (anche se calcolerei meglio il valore di $f$ in $Q$ ed $R$).
"maxira":
Un'altra domanda: perché devo studiare gli spigoli in un caso a parte? Non appartengono alla retta y=1?
Ma appartengono anche ad altri “pezzi” di frontiera e, lungo quelli, il comportamento della funzione potrebbe essere differente.
$ f(+- sqrt2/sqrt3, 1)= -1/3. $
Grazie mille per la pazienza.
Grazie mille per la pazienza.
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