Estremi assoluti funzioni a due variabili VINCOLATI
Salve a tutti,
sto trovando dei problemi nella risoluzione di due esercizi:
$f(x,y)=e-e^(xy)$definito in $K={(x,y)in R^(2)|x^2-1<=y^2<=1}$
$f(x,y)=x^2-y^2$definito in$K={(x,y)in R^(2)|9x^2+y^2<=9}$
Prima di mostrarvi il procedimento posso dire che per entrambe le funzioni,ma in particolare per il loro vincoli,esistono massimi o minimi assoluti grazie al teorema di Weierstrass perché insiemi chiusi.
Partendo dalla prima:
la prima cosa che ho fatto è disegnare il vincolo che ho diviso in due parti: $y^2>=x^2-1$ è un'iperbole e $y^2<=1$ sono delle rette.Quindi andando a disegnare sul grafico ho ottenuto il vincolo presente all'interno dell'iperbole e delimitato dalle rette $y=-1$ e $y=1$.(In poche parole è la parte centrale del grafico).
Poi ho calcolato le derivate parziali:
$ (partial f)/(partial x) =-ye^(xy)$
$(partial f)/(partial y) =-xe^(xy)$
Per la ricerca dei punti critici le ho poste uguali a 0 e l'unico punto ottenuto è$(0,0)$che è presente all'interno del vincolo.
Ho calcolato le altre derivate (che ora non sto a scrivere) e ho visto che $(0,0)$ non è un punto ne di massimo ne di minimo.Domanda:essendo un punto che si trova sugli assi potevo già immaginare che non fosse ne di massimo ne di minimo?Questo,se fosse così,vale sempre?
Ora la difficoltà.L'esercizio mi chiede di trovare anche gli estremi assoluti.Quindi devo prendere in considerazione la frontiera del vincolo.La mia difficoltà,sia in questo che nell'altro esercizio,è quella di determinare i punti di frontiera.In questo esercizio ho pensato di fare così:
$K={(x,y)in R^(2)|x^2-1<=y^2,y^2=1}$
Cioè sostituire i punti$y=1,y=-1$ nella funzione $f(x,1)$ e $f(x,-1)$ e in seguito fare la derivata e trovare i massimi o minimi assoluti.
Stesso ragionamento per l'altra parte del dominio:$K={(x,y)in R^(2)|x^2-1=y^2,y^2<=1}$ dove$y=+-sqrt(x^2-1)$.
E' giusto il mio procedimento?
Se mi potreste aiutare a risolvere tali dubbi ve ne sarei grato.
Dopo aver risolto questo problema posterò l'altro esercizio.
Grazie in anticipo.
sto trovando dei problemi nella risoluzione di due esercizi:
$f(x,y)=e-e^(xy)$definito in $K={(x,y)in R^(2)|x^2-1<=y^2<=1}$
$f(x,y)=x^2-y^2$definito in$K={(x,y)in R^(2)|9x^2+y^2<=9}$
Prima di mostrarvi il procedimento posso dire che per entrambe le funzioni,ma in particolare per il loro vincoli,esistono massimi o minimi assoluti grazie al teorema di Weierstrass perché insiemi chiusi.
Partendo dalla prima:
la prima cosa che ho fatto è disegnare il vincolo che ho diviso in due parti: $y^2>=x^2-1$ è un'iperbole e $y^2<=1$ sono delle rette.Quindi andando a disegnare sul grafico ho ottenuto il vincolo presente all'interno dell'iperbole e delimitato dalle rette $y=-1$ e $y=1$.(In poche parole è la parte centrale del grafico).
Poi ho calcolato le derivate parziali:
$ (partial f)/(partial x) =-ye^(xy)$
$(partial f)/(partial y) =-xe^(xy)$
Per la ricerca dei punti critici le ho poste uguali a 0 e l'unico punto ottenuto è$(0,0)$che è presente all'interno del vincolo.
Ho calcolato le altre derivate (che ora non sto a scrivere) e ho visto che $(0,0)$ non è un punto ne di massimo ne di minimo.Domanda:essendo un punto che si trova sugli assi potevo già immaginare che non fosse ne di massimo ne di minimo?Questo,se fosse così,vale sempre?
Ora la difficoltà.L'esercizio mi chiede di trovare anche gli estremi assoluti.Quindi devo prendere in considerazione la frontiera del vincolo.La mia difficoltà,sia in questo che nell'altro esercizio,è quella di determinare i punti di frontiera.In questo esercizio ho pensato di fare così:
$K={(x,y)in R^(2)|x^2-1<=y^2,y^2=1}$
Cioè sostituire i punti$y=1,y=-1$ nella funzione $f(x,1)$ e $f(x,-1)$ e in seguito fare la derivata e trovare i massimi o minimi assoluti.
Stesso ragionamento per l'altra parte del dominio:$K={(x,y)in R^(2)|x^2-1=y^2,y^2<=1}$ dove$y=+-sqrt(x^2-1)$.
E' giusto il mio procedimento?
Se mi potreste aiutare a risolvere tali dubbi ve ne sarei grato.
Dopo aver risolto questo problema posterò l'altro esercizio.
Grazie in anticipo.
Risposte
"Freezix":
Salve a tutti,
sto trovando dei problemi nella risoluzione di due esercizi:
$f(x,y)=e-e^(xy)$definito in $K={(x,y)in R^(2)|x^2-1<=y^2<=1}$
Per la ricerca dei punti critici le ho poste uguali a 0 e l'unico punto ottenuto è$(0,0)$che è presente all'interno del vincolo.
Ho calcolato le altre derivate (che ora non sto a scrivere) e ho visto che $(0,0)$ non è un punto ne di massimo ne di minimo.Domanda:essendo un punto che si trova sugli assi potevo già immaginare che non fosse ne di massimo ne di minimo?Questo,se fosse così,vale sempre?
Direi di no
pensa a queste due funzioni
$f(x;y)=xy$
l'origine è un punto critico ed è una sella
$f(x;y)=x^2+y^2$
l'origine è un punto critico ed è un minimo.
Ho capito.E per gli altri punti chi mi da una mano?
C'è qualche anima pia che mi da la conferma sull'esercizio proposto?
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