Estremi assoluti di una funzione in due variabili in un dominio D
Salve a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione del seguente esercizio:
Data la funzione $ f(x,y)=3sqrt(x^2+y"2) $ determinare gli estremi assoluti nella circonferenza di centro l'origine e raggio = 2.
Procedo, quindi, con il cambiamento in cordinate polari:
${x=2*costheta, y=2*sintheta$ $ rArr $ $f(theta)=3sqrt(2*cos^2theta+2*sin^2theta)=6$
La derivata di $f(theta)$ risulta quindi essere uguale a zero.
Come posso procedere da questo punto in poi per trovare i massimi e minimi della funzione? Solitamente determino i valori di $theta$ per cui $f'(theta)=0$, mentre in questo caso $f'(theta)$ è sempre nulla.
Se procedo senza il cambiamento in cordinate polari devo trovare i valori di $x$ e $y$ che annullano il gradiente di $f(x,y)$.
Calcolando le derivate parziali $f_x=(6x)/(2*sqrt(x^2+y^2))$, $f_y=(6y)/(2*sqrt(x^2+y^2))$, noto che non esiste nessun punto del piano $xy$ per cui queste siano nulle. Come posso dire se ci sono massimi e minimi in questo caso?
Grazie per l'attenzione
zoso89
Data la funzione $ f(x,y)=3sqrt(x^2+y"2) $ determinare gli estremi assoluti nella circonferenza di centro l'origine e raggio = 2.
Procedo, quindi, con il cambiamento in cordinate polari:
${x=2*costheta, y=2*sintheta$ $ rArr $ $f(theta)=3sqrt(2*cos^2theta+2*sin^2theta)=6$
La derivata di $f(theta)$ risulta quindi essere uguale a zero.
Come posso procedere da questo punto in poi per trovare i massimi e minimi della funzione? Solitamente determino i valori di $theta$ per cui $f'(theta)=0$, mentre in questo caso $f'(theta)$ è sempre nulla.
Se procedo senza il cambiamento in cordinate polari devo trovare i valori di $x$ e $y$ che annullano il gradiente di $f(x,y)$.
Calcolando le derivate parziali $f_x=(6x)/(2*sqrt(x^2+y^2))$, $f_y=(6y)/(2*sqrt(x^2+y^2))$, noto che non esiste nessun punto del piano $xy$ per cui queste siano nulle. Come posso dire se ci sono massimi e minimi in questo caso?
Grazie per l'attenzione
zoso89
Risposte
Riformulo. Hai una funzione che assume solo il valore \(6\). Quale è il valore massimo che essa assume? Quale il valore minimo?
Innanzitutto grazie per il tuo interessamento. Dall'analisi da me fatta sembrerebbe una funzione costante che non present adunque nè massimi nè minimi. I miei dubbi sorgono dal risultato di wolframalpha.com che mostra un minimo assoluto nel punto xy=(0,0).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3sqrt%28x^2%2By^2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3sqrt%28x^2%2By^2%29
Ma la tua analisi riguarda solo la circonferenza. Di quello che accade fuori non te ne importa molto. E comunque è sbagliato dire che "non ammette massimo e minimo", li ammette benissimo, solo che coincidono.
MI scuso per essere stato impreciso nella trascrizione del testo dell' esercizio. Il dominio all' interno del quale trovare i massimi e i minimi è $ D={R^2in (x,y):x^2+y^2<=4} $ di cui fa parte anche il punto (x,y) = (0,0) .
In ogni caso è un esercizio molto facile, devi solo passarlo in coordinate polari. Si tratta di trovare il minimo della funzione \(3r\) sull'intervallo \([0, 2]\).
Perfetto, ho capito 
Mille grazie, sei stato gentilissimo!
Mille grazie, sei stato gentilissimo!
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