Estremi assoluti di una funzione a due variabili in un dominio - Hessiano nullo

[zoso89-votailprof]

Calcolare i massimi e minimi assoluti per la funzione $F(x,y)=e^(-(x^2+y^2)^2)$ nel triangolo di
vertici $A(-1,0)$, $B(1,1)$, $C(1,-1)$

$f_x=e^(-(x^2+y^2)^2)* (-4x)*(x^(2)*y^(2))$
$f_y=e^(-(x^2+y^2)^2)* (-4y)*(x^(2)*y^(2))$

Il gradiente si annulla in $(0.0)$.

$f_(xx)=(-4 x^2 y^2 (-3 + 4 x^4 + 4 x^2 y^2))/(e^((x^2 + y^2)^2))$
$f_(yy)=(-4 x^2 y^2 (-3 + 4 y^4 + 4 x^2 y^2))/(e^((x^2 + y^2)^2))$
$f_(xy)=(-8 x y^3 (-1 + 2 x^4 + 2 x^2 y^2))/(e^((x^2 + y^2)^2))$

Il determinante della matrice Hessiana in $(0,0)$ è nullo quindi devo trovare un metodo per studiare il punto critico $(0,0)$.

Passo in coordinate polari: ${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta):}$ $->$ $f(rho,theta)=e^(-rho^4)$ $->$ $f(rho)=e^(-rho^4)$

$f'(rho)=-4rho^3e^(-rho^4)$

la derivata prima si annulla per $rho=0$, studiando il segno della derivata prima:
noto che per $rho>0$ la derivata assume un segno negativo mentre per $rho<0$ assume un segno posito. Quindi posso dire che in $rho=0$ esiste un punto di massimo.

Per $rho=0$ trovo il punto ${(x=0),(y=0):}$ dove $f(0,0)=1$

Sto sbagliando?

Grazie per l'attenzione

[ostrogoto1]

In coordinate polari non puo ' essere $ rho<0 $ !!!
Comunque il punto $ (0,0) $ e' di massimo essendo $ f(w)=e^(-w^2)

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[gio73]

Resta da vedere come trovare i punti di minimo
Avrei una proposta per sveltire la ricerca, ma prima aspetto un tentativo di zoso89

[zoso89-votailprof]

"ostrogoto":In coordinate polari non puo ' essere $ rho<0 $ !!!
Comunque il punto $ (0,0) $ e' di massimo essendo $ f(w)=e^(-w^2)


Scusa se rispondo ora, ti ringrazio per la tua spiegazione! in effetti $rho<0$ non ha senso..

"gio73":Resta da vedere come trovare i punti di minimo
Avrei una proposta per sveltire la ricerca, ma prima aspetto un tentativo di zoso89

Come è possibile che debba cercare un punto di minimo se abbiamo appurato che l' unico punto critico trovato fosse di massimo?

[gio73]

Se non ho capito male ci stiamo muovendo all'interno di un triangolo: da qualche parte la funzione assumerà un valore maggiore di tutti gli altri, ma da qualche altra parte avrà un valore inferiore a tutti gli altri, doesn't it?

Anyway il testo dell'esercizio è

"zoso89":Calcolare i massimi e minimi assoluti per la funzione $F(x,y)=e^(-(x^2+y^2)^2)$ nel triangolo di
vertici $A(-1,0)$, $B(1,1)$, $C(1,-1)$